Câu hỏi:

10/09/2025 44 Lưu

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\);                                                                 b) \(y = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = x + 3 + \frac{1}{{x - 1}}\).

Tập xác định của hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Sự biến thiên:

\(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)\(\left( {2; + \infty } \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến, trên các khoảng \(\left( {0;1} \right)\)\(\left( {1;2} \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\)\({y_{CT}} = 6\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và .

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \).

Tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \).

Suy ra \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\).

Suy ra \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: (ảnh 1)

Đồ thị

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là \(\left( {0;2} \right)\).

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là \(\left( { - 1 + \sqrt 3 ;0} \right)\)\(\left( { - 1 - \sqrt 3 ;0} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( {1;4} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: (ảnh 2)

b) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Sự biến thiên

\(y' = - 1 + \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) hoặc \(x = 0\).

Trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\)\(\left( { - 1;0} \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến, trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\)\(\left( {0; + \infty } \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 2\)\({y_{CT}} = 5\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và .

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = + \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( { - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( { - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = - \infty \).

Suy ra đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \frac{1}{{x + 1}}} \right) = 0\).

Suy ra \(y = - x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: (ảnh 3)

Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( { - 3; - \frac{{11}}{2}} \right),\left( {3; - \frac{5}{4}} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I\left( { - 1;3} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: (ảnh 4)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

vvvvvvv (ảnh 1)

a) Hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \)\(\overrightarrow {CB} \) là hai vectơ ngược hướng nên góc giữa chúng bằng 180°.

b) Hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \)\(\overrightarrow {BO} \) là hai vectơ cùng hướng nên góc giữa chúng là \(0^\circ \).

c) Ta có \(\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \widehat {SCD}\).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác SCD có:

\(\cos \widehat {SCD} = \frac{{S{C^2} + C{D^2} - S{D^2}}}{{2SC.CD}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {2a} \right)}^2}}}{{2.2a.a}} = \frac{1}{4}\).

d) Ta có \(\overrightarrow {AO} .\overrightarrow {SD} = - \overrightarrow {OA} .\left( {\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OS} } \right) = - \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OS} = 0\) nên góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AO} \)\(\overrightarrow {SD} \) bằng 90°.

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;    d) Sai.

Lời giải

Gọi x (triệu VNĐ) là số tiền cần giảm cho mỗi chiếc xe\[\left( {0 \le x \le 4} \right).\]

Số lượng xe bán ra được trong một năm sau khi giảm giá là: \[x.200 + 600\](chiếc)

Số lợi nhuận thu được từ việc bán xe trong một năm sau khi giảm giá là: \[\left( {x.200 + 600} \right)\left( {4 - x} \right)\]

Xét hàm số \[f\left( x \right) = \left( {x.200 + 600} \right)\left( {4 - x} \right) = 200\left( { - {x^2} + x + 12} \right)\,\,\,\left( {0 \le x \le 4} \right)\].

\(f'\left( x \right) = 200\left( { - 2x + 1} \right)\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

\(f\left( 0 \right) = 2400;f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2450;f\left( 4 \right) = 0\).

Câu 4

A. \(\overrightarrow {MG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right)\).                                          
B. \(\overrightarrow {MG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} } \right)\).
C. \(\overrightarrow {MG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)\).                                          
D. \(\overrightarrow {MG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MD} } \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP