Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x + 3\sin x + 3\). Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\). Tính giá trị biểu thức \(8M + m\).

Ta có \(f\left( x \right) = \cos 2x + 3\sin x + 3 = 1 - 2{\sin ^2}x + 3\sin x + 3 = - 2{\sin ^2}x + 3\sin x + 4\).

Đặt \(t = \sin x\). Khi đó \(x \in \left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).

Do đó GTNN và GTLN của hàm số đã cho bằng GTNN, GTLN của hàm số \(f\left( t \right) = - 2{t^2} + 3t + 4\) trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right]\).

Ta có BBT trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};1} \right]\)của hàm số \(f\left( t \right) = - 2{t^2} + 3t + 4\).

Suy ra \(M = \frac{{41}}{8},m = 5\), do đó \(8M + m = 8 \cdot \frac{{41}}{8} + 5 = 46\).

Đáp án: 46.