Cho hàm số \(f\left( x \right) = \cos 2x + 3\sin x + 3\). Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\). Tính giá trị biểu thức \(8M + m\).

a) Đúng. Phương trình có nghĩa khi \(1 + \sin 3x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 3x \ne - 1\).

b) Đúng. Với điều kiện phương trình có nghĩa: \[\frac{{\cos 3x}}{{1 + \sin 3x}} = 0 \Leftrightarrow \cos 3x = 0\].

c) Đúng. Với \(x = \frac{{5\pi }}{6}\), ta có \[\frac{{\cos \left( {3 \cdot \frac{{5\pi }}{6}} \right)}}{{1 + \sin \left( {3 \cdot \frac{{5\pi }}{6}} \right)}} = \frac{0}{2} = 0\]. Vậy \(x = \frac{{5\pi }}{6}\)là một nghiệm của phương trình đã cho.

d) Sai. Với điều kiện: \(\sin 3x \ne - 1\), ta có \[\frac{{\cos 3x}}{{1 + \sin 3x}} = 0 \Leftrightarrow \cos 3x = 0\].

Vì \({\sin ^2}3x + {\cos ^2}3x = 1\) nên \(\cos 3x = 0 \Rightarrow {\sin ^2}3x = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = 1\\\sin 3x = - 1\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện \(\sin 3x \ne - 1\), ta được \(\sin 3x = 1\)\( \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\).

Theo giả thiết ta có \(x > 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3} > 0\)\( \Leftrightarrow k > - \frac{1}{4}\). Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \({k_{\min }} = 0\).

Khi đó nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{6}\).

\( \Rightarrow a = 1;b = 6 \Rightarrow {a^2} + 2b = 13\).

a) Sai. Kí hiệu \({u_n}\)là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ \(n\).

Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)là một cấp số cộng.

b) Đúng. Số hạng đầu \({u_1} = 950\).

c) Sai. Cấp số cộng có công sai \(d = 1,5\).

d) Đúng. Ta có \({u_{12}} = {u_1} + 11{\rm{d}} = 950 + 11 \cdot 1,5 = 966,5\).

Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao 966,5 m so với mực nước biển.