Hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

a) Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 2\]. Vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

b) Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 6;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \]. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \[y = 6\]

c) Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang \[y = 6\]. Vậy tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là \[1\].

d) Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{f(x) + 2}} = \frac{1}{8};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f(x) + 2}} = 0\].

Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{f(x) + 2}}\] có hai đường tiệm cận ngang là \[y = \frac{1}{8}\] và \[y = 0\].

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.

a)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x + 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 5}}{{x + 1}} = - \infty \).

Nên đồ thị hàm số trên không có tiệm cận ngang.

b) $y=\frac{x^2-3x+5}{x+1}$\( = x - 4 + \frac{9}{{x + 1}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 4} \right)} \right] = 0\).

\( \Rightarrow \)Tiệm cận xiên của \(\left( C \right)\) là đường thẳng \(y = x - 4\).

c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Có \(y' = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 4\).

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  và \(\left( { - 1;2} \right)\).

d) Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là \(A\left( { - 4; - 11} \right),B(2;1)\).

Vậy đường thẳng qua 2 điểm cực trị là

\(\frac{{x - 2}}{{2 - ( - 4)}} = \frac{{y - 1}}{{1 - ( - 11)}} \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 1}}{{12}}\)\( \Rightarrow 12x - 24 = 6y - 6 \Leftrightarrow y = 2x - 3\).

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.