Kết quả rút gọn của biểu thức \({\left( {\frac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1\) bằng 

Tính \(S = {\cos ^2}5^\circ + {\cos ^2}10^\circ + {\cos ^2}15^\circ + ... + {\cos ^2}80^\circ + {\cos ^2}85^\circ \).

Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) với \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \).

a) Giá trị \(\sin \alpha .\cos \alpha < 0\).

b) \(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

c) \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

d) \(\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{2}{5}\).

Cho \(\tan \alpha = - 2\left( {90^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\). Khi đó:

a) \(\frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + 3\cos \alpha }} = 3\).

b) \(\cos \alpha > 0\).

c) \({\cos ^2}\alpha = \frac{1}{5}\).

d) \(\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho \(\cot \alpha = 2\). Biết giá trị của biểu thức \(P = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \sin \alpha - \cos \alpha }} = \frac{{a - b\sqrt 2 }}{2}\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính \(a + 2b.\)

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.

Cho \(\sin x = \frac{5}{{13}}\) và \(90^\circ < x < 180^\circ \).

a) \(\cos x > 0\).

b) Giá trị của biểu thức \(P = 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x = - \frac{{94}}{{169}}\).

c) Giá trị \(\tan x = \frac{5}{{12}}\).

d) Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}} = \frac{{25}}{{313}}\).

Cho tam giác \(ABC\). Giá trị biểu thức \(a = \sin \left( {A + B} \right)\sin C - \cos \left( {A + B} \right)\cos C\) là \(a \in \mathbb{N}\). Tính giá trị của \(2025a + 2026\).