Cho hình thang \(ABCD\;\left( {AB\;{\rm{//}}\;CD,\;AB < CD} \right).\) Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}.\) Gọi \(I\) là điểm thuộc cạnh \(AC\) sao cho \(\frac{{AI}}{{IC}} = \frac{1}{2}.\) Gọi \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(MI\) và cạnh \(BC.\)

         a) \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{AI}}{{AC}}.\)

         b) \(MN\;{\rm{//}}\;CD\;{\rm{//}}\;AB.\)

         c) \(\frac{{CN}}{{CB}} = \frac{{CI}}{{CA}}.\)

         d) \(\frac{{AM}}{{AD}} + \frac{{CN}}{{CB}} < 1.\)

Đáp án: \(6\)

Lấy điểm \(F\) trên tia \(AM\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(EF.\)

Tứ giác \(ECFB\) có: \(M\) là giao điểm của \(EF,\;CB.\) Mà \(M\) là trung điểm của \(EF,\) \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Do đó, tứ giác \(ECFB\) là hình bình hành. Do đó, \(CF\;{\rm{//}}\;EB.\) Hay \(NE\;{\rm{//}}\;CF.\)

Vì \(EM = \frac{1}{3}EA,\;EM = \frac{1}{2}EF\) nên \(\frac{1}{3}AE = \frac{1}{2}EF\) suy ra \(\frac{{AE}}{{EF}} = \frac{3}{2}.\)

Tam giác \(ACF\) có: \(NE\;{\rm{//}}\;CF\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AE}}{{EF}} = \frac{3}{2}.\)

Do đó, \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{3}{5}.\) Vậy \(AN = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Đáp án: \(4\)

Vì \(HK\;{\rm{//}}\;BC\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AC}} = \frac{1}{4}.\)Do đó, \(\frac{{AK}}{1} = \frac{{AC}}{4}.\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\frac{{AK}}{1} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{AK + AC}}{{1 + 4}} = \frac{{20}}{5} = 4.\)

Suy ra: \(AK = 4 \cdot 1 = 4\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\) Vậy \(AK = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)