Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = 50^\circ \) và \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Tia phân giác của góc \(AIB\) và tia phân giác góc \(AIC\) cắt các cạnh \(AB,\;AC\) lần lượt tại \(M,\;N.\) Số đo \(\widehat {AMN}\) bằng bao nhiêu độ?

Đáp án: \(50\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BI = IC.\)

Vì \(IM\) là tia phân giác của góc \(AIB\) trong \(\Delta IAB\) nên \(\frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{BM}}{{MA}}.\)

Vì \(IN\) là tia phân giác của góc \(AIC\) trong \(\Delta IAC\) nên \(\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)

Vì \(BI = IC,\;\frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{BM}}{{MA}},\;\frac{{IC}}{{IA}} = \frac{{NC}}{{NA}}\) nên \(\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}.\)

\(\Delta ABC\) có \(\frac{{BM}}{{MA}} = \frac{{NC}}{{NA}}\) nên \(MN\;{\rm{//}}\;BC\) (định lí Thalès đảo). Do đó, \(\widehat {AMN} = \widehat B = 50^\circ \) (hai góc đồng vị)

Vậy \(\widehat {AMN} = 50^\circ .\)