Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = 50^\circ \) và \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Tia phân giác của góc \(AIB\) và tia phân giác góc \(AIC\) cắt các cạnh \(AB,\;AC\) lần lượt tại \(M,\;N.\) Số đo \(\widehat {AMN}\) bằng bao nhiêu độ?

Đáp án: \(2,3\)

Vì \(BE\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) trong \(\Delta ABC\) nên \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{CB}} = \frac{5}{8}.\) Suy ra: \(EC = \frac{8}{5}EA.\)

Lại có: \(AE + EC = AC\) nên \(AE + \frac{8}{5}AE = 6,\) suy ra \(\frac{{13}}{5}AE = 6.\) Vậy \(AE \approx 2,3\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án: \(40\)

Vì \(\frac{{AI}}{{AH}} = \frac{3}{5}\)  nên \(\frac{{AI}}{{IH}} = \frac{3}{2}.\)

Vì \(BI\) là tia phân giác của \(\widehat {ABH}\) trong \(\Delta AHB\)  nên \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AI}}{{IH}} = \frac{3}{2}.\)

Do đó, \(BH = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vì \(AB = AC = 12\;{\rm{cm}}\) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\)

Nên \(AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

Suy ra: \(BC = 2BH = 2 \cdot 8 = 16\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Chu vi \(\Delta ABC\) là: \(AB + AC + BC = 12 + 12 + 16 = 40\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy chu vi \(\Delta ABC\) bằng \(40\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)