Cho \[\Delta ABC\] cân tại \[A,\] trung tuyến \[AM,\;\] \[I\] là trung điểm \[AC.\] Gọi \[N\] là điểm đối xứng của \[M\] qua \[I\]. Gọi \[E,\,\,K\] lần lượt là trung điểm \[AM,\,\,AB.\]    

 a) Tứ giác \[AMCN\] là hình thoi.

 b) \[E\] là trung điểm \[BN.\]

 c) \(AK = AI.\)

 d) Điều kiện của \[\Delta ABC\] để tứ giác \[AKMI\] là hình vuông thì \(\widehat {KAI} = 45^\circ .\)

Đáp án:               a) S.            b) Đ.           c) Đ.           d) S.

⦁ Do \[N\] là điểm đối xứng của \[M\] qua \[I\] nên \(I\) là trung điểm của \(MN.\)

Xét tứ giác \(AMCN\) có \(I\) là trung điểm của hai đường chéo \(AC,MN\) nên \(AMCN\) là hình bình hành.

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM\) nên \(AM\) là đường cao của tam giác hay \(\widehat {AMC} = 90^\circ \).

Hình bình hành \(AMCN\) có \(\widehat {AMC} = 90^\circ \) nên \(AMCN\) là hình chữ nhật. Do đó ý a) sai.

⦁ Do \(AMCN\) là hình chữ nhật nên \(AN\,{\rm{//}}\,MC\) và \(AN = MC.\)

Lại có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC\).

Do đó \(AN = MB\,\,\left( { = MC} \right)\).

Xét tứ giác \(ANMB\) có \(AN\,{\rm{//}}\,MB\) (do \(AN\,{\rm{//}}\,MC)\) và \(AN = MB\) nên \(ANMB\) là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo \[AM,BN\] cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lại có \(E\) là trung điểm của \(AM\) nên \(E\) cũng là trung điểm của \(BN\). Do đó ý b) đúng.

⦁ Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).

Lại có \(K,I\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\) nên \(AK = BK = \frac{1}{2}AB\) và \(AI = CI = \frac{1}{2}AC\)

Do đó \(AK = AI.\) Do đó ý c) đúng.

⦁ Tứ giác \(ANCM\) là hình chữ nhật nên \(AC = MN\) và \(I\) là trung điểm của \(AC,MN.\)

Suy ra \(AI = MI.\)

Do đó \(AK = MI = AI\).

Ta có: \(ANMB\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,MN\) hay \(AK\,{\rm{//}}\,MI\).

Tứ giác \(AKMI\) có \(AK = MI\) và \(AK\,{\rm{//}}\,MI\) nên \(AKMI\) là hình bình hành.

Lại có \(AK = AI\) nên \(AKMI\) là hình thoi.

Để \(AKMI\) là hình vuông thì cần thêm điều kiện \(\widehat {KAI} = 90^\circ \), khi đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Vậy để \(AKMI\) là hình vuông thì tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\).

Thật vậy, khi tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) ta dễ dàng chứng minh được \(AKMI\) là hình thoi có \(\widehat {KAI} = 90^\circ \) nên là hình vuông. Do đó ý d) sai.