Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = 12\;{\rm{cm}}{\rm{, }}BC = 6\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC.\) Gọi \(E\) là điểm thuộc tia đối của tia \(DA\) sao cho \(DE = \frac{1}{4}AE.\)

a) \(\Delta ADC\) vuông tại \(D.\)

b) \(AD = \sqrt {135} \;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

c) \(EC = 5\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

d) Chu vi \(\Delta DEC\) lớn hơn \(12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

a) Đúng.

Vì \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(AH \bot BC.\) Do đó, \(\Delta ABH\) vuông tại \(H.\)

Nên \(A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}\) (định lí Pythagore), suy ra \(A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {\left( {\sqrt {80} } \right)^2} - {4^2} = 64.\)

Suy ra \(AH = \sqrt {64} = 8\;{\rm{m}}{\rm{.}}\) Vậy \(AH = 8\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

b) Sai.

Vì \(AH \bot BC\) nên \(\Delta ACH\) vuông tại \(H.\)

Suy ra \(A{H^2} + H{C^2} = A{C^2}\) (định lí Pythagore), suy ra \(C{H^2} = A{C^2} - A{H^2} = {10^2} - 64 = 36.\)  

Suy ra \(CH = \sqrt {36} = 6\;{\rm{m}}{\rm{.}}\) Vậy \(CH = 6\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

c) Sai.

Chu vi \(\Delta AHC\) là: \({P_1} = AH + HC + AC = 8 + 6 + 10 = 24\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy chu vi \(\Delta AHC\) bằng \(24\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

d) Sai.

Ta có: \(BC = BH + CH = 4 + 6 = 10\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Chu vi \(\Delta ABC\) là: \({P_2} = AC + AB + BC = 10 + \sqrt {80} + 10 = 20 + \sqrt {80} \;\left( {\rm{m}} \right).\)

Ta có: \({P_2} - {P_1} = 20 + \sqrt {80} - 24 = \sqrt {80} - 4 \approx 5\;\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy chu vi \(\Delta ABC\) lớn hơn chu vi \(\Delta AHC\) khoảng \(5\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)