Cho hình thang cân \(ABCD\;\left( {AB\,{\rm{//}}\,CD,\;AB < CD} \right).\) Hai đường chéo cắt nhau tại \(P.\) Gọi \(Q\) là giao điểm của hai tia \(DA\) và \(CB.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(PQ\) và \(AB.\) Tính số đo góc \(QIB.\)  (Đơn vị: Độ).

a) Sai.

Tứ giác \(ABCD\) có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \] (tổng các góc trong một tứ giác).

\[\widehat B + \widehat D = 360^\circ - \widehat A - \widehat C = 360^\circ - 125^\circ - 35^\circ = 200^\circ .\] Vậy \[\widehat B + \widehat D = 200^\circ .\]

b) Sai.

Vì \(\widehat B - \widehat D = 90^\circ \) nên \(\widehat B = \widehat D + 90^\circ .\)

Mà \[\widehat B + \widehat D = 200^\circ \] nên \[\widehat D + 90^\circ + \widehat D = 200^\circ \] suy ra \(2\widehat D = 110^\circ .\) Vậy \(\widehat D = 55^\circ .\)

c) Đúng.

Ta có: \(\widehat B = 55^\circ + 90^\circ = 145^\circ .\)

Kẻ \(Am\) là tia đối của tia \(AD.\)

Ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat {BAm} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BAm} = 180^\circ - \widehat {DAB} = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ .\)

Vì \(\widehat {BAm} = \widehat {ADC}\left( { = 55^\circ } \right),\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD.\)

d) Sai.

Vì hình thang \(ABCD\) không có hai góc kề một đáy bằng nhau nên hình thang \(ABCD\) không phải là hình thang cân.

a) Đúng.

Tứ giác \(ABCD\) có \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình thang.

Mà \(AC = BD\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân.

b) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = 100^\circ .\) Vậy \(\widehat {DAB} = 100^\circ .\)

c) Đúng.  

Kẻ \(Bd\) là tia đối của tia \(BC.\) Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat C = \widehat {ABd}\) (hai góc đồng vị).

Mà \(\widehat {ABd} + \widehat {ABC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {BCD} = 180^\circ .\) Vậy \(\widehat {ABC} + \widehat C = 180^\circ .\)

d) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat D = \widehat C.\)

Ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat C = 180^\circ \) nên \(100^\circ + \widehat C = 180^\circ \) nên \(\widehat C = 80^\circ .\) Vậy \(\widehat D = 80^\circ .\)