Cho hình bình hành \(ABCD\), đường chéo \(BD.\) Kẻ \(AH\) và \(CK\) vuông góc với \(BD\) lần lượt tại \(H\) và \(K.\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC\), gọi \(N\) là giao điểm của \(CH\) và \(AD\) và \(O\) là trung điểm của \(BD\).

         a) \(\Delta ADH = \Delta CKB\).

         b) \(AK\parallel CH.\)

         c) \(AM = CN.\)

         d) \(M,O,N\) thẳng hàng.

Đáp án: 99

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào tam giác \(ABC\) ta có;

\(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \), suy ra \(\widehat {BAC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right) = 21^\circ \).

Vì \(AB\parallel CD\) nên \(\widehat {BAC} = \widehat {ACD} = 21^\circ \) (so le trong).

Xét tam giác \(ACD\) có: \(\widehat {ACD} + \widehat {ADC} + \widehat {CAD} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác).

Do đó, \(\widehat {CAD} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ACD} + \widehat {ADC}} \right) = 180^\circ  - \left( {60^\circ  + 21^\circ } \right) = 99^\circ \).

Vậy \(\widehat {DAC} = 99^\circ \).

Đáp án: 24

Vì tam giác vuông \(AHD\) có \(\widehat {ADH} = 45^\circ \) nên \(\Delta AHD\) là tam giác vuông cân.

Do đó, \(HD = HA = 4{\rm{ cm}}\).

Ta có \(ABHK\) là hình bình hành \(\left( {AB\parallel HK} \right)\) có \(\widehat {AHK} = \widehat {HKB} = 90^\circ \), do đó \(ABHK\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(AH = BK = 4{\rm{ cm}}{\rm{,}}\) \(AB = HK = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Vì \(ABCD{\rm{ }}\left( {AB\parallel CD} \right)\) là hình thang cân nên \(\widehat {ADH} = \widehat {BCK} = 45^\circ \).

Do đó, \(\Delta BKC\) cũng là tam giác vuông cân nên \(KB = KC = 4{\rm{ cm}}\).

Ta có: \(DC = DH + HK + KC = 4 + 2 + 4 = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy diện tích hình thang cân \(ABCD\) là: \(\frac{{\left( {AB + DC} \right) \cdot AH}}{2} = \frac{{\left( {2 + 10} \right) \cdot 4}}{2} = 24{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).