Cho hình vuông \(ABCD.\) Lấy các điểm \(E,F\) theo thứ tự thuộc các cạnh \(CD,DA\) sao cho \(DE = AF.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AE\) và \(BE\).

         a) \(\Delta AED = \Delta BAF.\)

         b) \(AE = BF.\)

         c) \(\widehat {BAF} = \widehat {DAE}\).

         d) \(AE \bot BF.\)

a) Sai.

Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta CKB\), có:

\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_1}}\) (so le trong)

\(AD = BC\) (gt)

Do đó, \(\Delta ADH = \Delta CBK\)(ch – gn).

b) Đúng.

Vì \(\Delta ADH = \Delta CBK\) (cmt) nên \(AH = CK\) (hai góc tương ứng).

Lại có \(AH\parallel CK\) (cùng vuông góc với \(BD\)).

Do đó, \(AKCH\) là hình bình hành.

Suy ra \(AK\parallel CH\).

c) Đúng.

Vì \(M\) là giao điểm của \(AK\) và \(BC\), \(N\) là giao điểm của \(CH\) và \(AD\) nên ta có:

\(AM\parallel CN\) và \(AN\parallel CM\).

Suy ra \(AMCN\) là hình bình hành.

Do đó, \(AM = CN\).

d) Đúng.

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường mà \(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(AC\).

Mặt khác \(AMCN\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(AC\) và \(MN\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường mà \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(MN\) hay ba điểm \(M,O,N\) thẳng hàng.