Xác định \[a,{\rm{ }}b\] của hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] sao cho đồ thị hàm số:

     a) Đi qua điểm $A\left(3;–1\right)$ và $B\left(2;–5\right).$

      b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $–1.$

     c) Đi qua giao điểm của hai đường thẳng \[\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\] và $\left(d_2\right):y=2x–3,$ và đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24.\)

     d) Vuông góc với đường thẳng \(y =  - \frac{1}{4}x + 9\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \[5.\]

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm $A\left(3;–1\right)$ nên ta có:

\[ - 1 = a \cdot 3 + b,\] do đó \(b = - 3a - 1.\)

Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm $B\left(2;–5\right)$ nên ta có:

\[ - 5 = a \cdot 2 + b\,\,\left( * \right)\]

Thay \(b = - 3a - 1\) vào \(\left( * \right)\) ta được:

\[ - 5 = a \cdot 2 - 3a - 1\]

\(a = 4.\)

Suy ra $b=-3\cdot 4-1=-13.$

Vậy \(a = 4\) và \(b = - 13.\)

b) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

\(5 = a \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\) Khi đó ta có hàm số \(y = ax + 5.\)

Đồ thị hàm số \[y = ax + 5{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \( - 1\) nên ta có:

\(0 = a \cdot \left( { - 1} \right) + 5,\) do đó \(a = 5.\)

Vậy \(a = 5\) và \(b = 5.\)

c) Do đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24,\) nên ta có \(a = \frac{3}{2}\) và \(b \ne - 24.\) Khi đó ta có hàm số \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right).\]

Hoành độ giao điểm của \[\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\] và \[\left( {{d_2}} \right):y = 2x--3\] là nghiệm của phương trình:

\(x + 1 = 2x - 3\)

\(x = 4.\)

Thay \(x = 4\) vào hàm số \(y = x + 1\) ta được \(y = 4 + 1 = 5.\)

Do đó hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại điểm \(\left( {4;5} \right).\)

Do đường thẳng \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right)\] đi qua điểm \(\left( {4;5} \right)\) nên ta có:

\[5 = \frac{3}{2} \cdot 4 + b,\] do đó \(b = - 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = \frac{3}{2}\) và \(b = - 1.\)

d) Do đường thẳng \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{4}x + 9\) nên ta có \(a \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) = - 1,\) suy ra \(a = 4\) (thỏa mãn). Khi đó ta có hàm số \(y = 4x + b.\)

Đường thẳng \(y = 4x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

\(5 = 4 \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\)

Vậy \(a = 4\) và \(b = 5.\)