Câu hỏi:

20/09/2025 31

Cho x và y thoả mãn: \[{x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\]. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \[M = x + y + 6\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Cách 1. Ta có: ${x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0$

${x^2} + 2xy + {y^2} + 6x + 6y + 9 - 1 = - {y^2}$

${\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) \cdot 3 + {3^2} - 1 = - {y^2}$

${\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 = - {y^2}$

$\left( {x + y + 3 + 1} \right)\left( {x + y + 3 - 1} \right) = - {y^2}$

$\left( {x + y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) = - {y^2}$.

Với mọi $x,\,\,y$ ta luôn có ${y^2} \ge 0$ hay $ - {y^2} \le 0$

Nên $\left( {x + y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) \le 0.$

$\left( {x + y + 6 - 2} \right)\left( {x + y + 6 - 4} \right) \le 0$

$\left( {M - 2} \right)\left( {M - 4} \right) \le 0$ $(*)$

Với mọi $x,\,\,y$ và \[M = x + y + 6\] ta lại có $M - 4 < M - 2$ nên để $(*)$ xảy ra thì $M - 4 \le 0$ và $M - 2 \ge 0.$

⦁ Xét $M - 4 \le 0$ ta có $M \le 4$.

Dấu “=” xảy ra khi $x + y + 2 = 0$ và $y = 0$, tức là $x = - 2,\,\,y = 0.$

⦁ Xét $M - 2 \ge 0$ ta có $M \ge 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $x + y + 4 = 0$ và $y = 0$, tức là $x = - 4,\,\,y = 0.$

Vậy GTLN của $M$ bằng 4 khi $x = - 2,\,\,y = 0$ và GTNN của $M$ bằng 2 khi $x = - 4,\,\,y = 0.$

Cách 2. Ta có: ${x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0$

${x^2} + 2xy + {y^2} + 6x + 6y + 9 = 1 - {y^2}$

${\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) \cdot 3 + {3^2} = 1 - {y^2}$

${\left( {x + y + 3} \right)^2} = 1 - {y^2}$

Với mọi $x,\,\,y$ ta luôn có ${y^2} \ge 0$ hay $ - {y^2} \le 0$ nên $1 - {y^2} \le 1$.

Suy ra: ${\left( {x + y + 3} \right)^2} \le 1$, do đó $\left| {x + y + 3} \right| \le 1$ hay $ - 1 \le x + y + 3 \le 1$

Vì vậy, $2 \le x + y + 6 \le 4$

⦁ Xét $x + y + 6 \le 4$ hay $M \le 4$. Dấu “=” xảy ra khi $x + y + 6 = 4$ và $y = 0$, tức là $x = - 2,\,\,y = 0.$

⦁ Xét $2 \le x + y + 6$ hay $M \ge 2$. Dấu “=” xảy ra khi $x + y + 6 = 2$ và $y = 0$, tức là $x = - 4,\,\,y = 0.$

Vậy GTLN của $M$ bằng 4 khi $x = - 2,\,\,y = 0$ và GTNN của $M$ bằng 2 khi $x = - 4,\,\,y = 0.$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

(1,5 điểm) Một chiếc lều có dạng hình chóp tứ giác đều ở trại hè của học sinh có kích thước như hình bên.

a) Tính thể tích không khí bên trong chiếc lều.
b) Tính số tiền mua vải phủ bốn phía và trải nền đất cho chiếc lều (coi các mép nối không đáng kể). Biết chiều cao của mặt bên xuất phát từ đỉnh của chiếc lều là $3,18\;\;{\rm{m}}$ và giá vải là $15\,\,000$ đồng/m². Ngoài ra, nếu mua vải với hóa đơn trên $20$ m² thì được giảm giá $5\% $ trên tổng hóa đơn.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Diện tích đáy hình vuông của chiếc lều là:

Thể tích không khí bên trong chiếc lều là:

b) Diện tích xung quanh của chiếc lều là:

${S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 3} \right) \cdot 3,18 = 19,08{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích vải phủ bốn phía và trải nền đất cho chiếc lều là:

$S = 9 + 19,08 = 28,08$ (m²).

Do $28,08 > 20$ nên số tiền mua vải được giảm giá $5\% $ trên tổng hóa đơn.

Vậy số tiền mua vải là: $28,08 \cdot 15\,\,000 \cdot \left( {100\% - 5\% } \right) = 400\,\,140$ (đồng).

Câu 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) $A = {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} - {\left( {y + 4} \right)^2}$.

Xem đáp án

Lời giải

a) $A = {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} - {\left( {y + 4} \right)^2}$

$ = {y^2} + 2y + 1 + {y^2} - 4y + 4 + {y^2} - 6y + 9 - \left( {{y^2} + 8y + 16} \right)$

$ = 2{y^2} - 16y - 2$

$ = 2\left( {{y^2} - 8y} \right) - 2$

$ = 2\left( {{y^2} - 8y + 16} \right) - 32 - 2$

$ = 2{\left( {y - 4} \right)^2} - 34$

Vì ${\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0$ với mọi $y$ nên $2{\left( {y - 4} \right)^2} - 34 \ge - 34$, suy ra $A \ge - 34$.

Dấu xảy ra khi $y = 4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $ - 34$ khi $y = 4$.

Câu 3