Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường trung tuyến \(AM.\) Gọi \(D\) là trung điểm của \(AB.\) Trên tia đối của tia \(DM\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DE = DM.\)

     a) Các tứ giác \(AEBM\) và \(ACME\) là hình gì? Tại sao?

     b) Tam giác vuông \(ABC\) có điều kiện gì thì \(AEBM\) là hình vuông?

Hướng dẫn giải

Ta có: \({x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0\)

Suy ra \(2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0\)

\({x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 0\)

\(\left( {{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0\)

\({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\)

Với mọi \(x,\,\,y\) ta có: \({\left( {x - 3y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\)

Do đó, để \({\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) thì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 3y} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {y - 1} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\] hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3y = 0}\\{x - 3 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.\), tức là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).

Thay \(x = 3,\,\,y = 1\) vào biểu thức \(A,\) ta được:

\[A = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2222}} - {1^{2222}}}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}.\]

a) \[A = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {2 - {x^2}} \right)\left( {2 + {x^2}} \right)\]

\[ = {x^4} - 4{x^2} + 4 + 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {4 - {x^4}} \right)\]

\[ = {x^4} - 4{x^2} + 4 + 2{x^2} - 4x + 2 + 4 - {x^4}\]

\[ = - 2{x^2} - 4x + 10\]\[ = - 2\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)\]

\[ = - 2\left( {{x^2} + 2x + 1 - 6} \right)\]\[ = - 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 12.\]

Với mọi \(x\), ta luôn có \[{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,\] nên \[ - 2{\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\], suy ra \[ - 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 12 \le 12\]

Do đó \(A \le 12.\) Dấu xảy ra khi \[x = - 1\].

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là \(12\) khi \(x = - 1\).