Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

            a) \(A = {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} - {\left( {y + 4} \right)^2}\).

d) \[D = \left( {y - 2} \right)\left( {y - 5} \right)\left( {y - 6} \right)\left( {9 - y} \right)\]

\[ = \left[ {\left( {y - 2} \right)\left( {9 - y} \right)} \right]\left[ {\left( {y - 5} \right)\left( {y - 6} \right)} \right]\]

\[ = \left( { - {y^2} + 11y - 18} \right)\left( {{y^2} - 11y + 30} \right)\]

Đặt \[t = {y^2} - 11y\], ta có

\[D = \left( { - t - 18} \right)\left( {t + 30} \right)\]\[ = - {t^2} - 48t - 540\]

   \[ = - \left( {{t^2} + 48t + 576} \right) + 36\]\[ = - {\left( {t + 24} \right)^2} + 36.\]

Với mọi \(t,\) ta có \[{\left( {t + 24} \right)^2} \ge 0\] nên \[ - {\left( {t + 24} \right)^2} \le 0\] suy ra \[ - {\left( {t + 24} \right)^2} + 36 \le 36\].

Do đó \[D \le 36\].

Dấu xảy ra khi \(t = - 24\) hay \[{y^2} - 11y = - 24\]

\[{y^2} - 11y + 24 = 0\]

\[\left( {y - 3} \right)\left( {y - 8} \right) = 0\]

\[y = 3\] hoặc \[y = 8\]

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(D\) là \(36\) khi \(y = 3\); \(y = 8\).

d) \(D = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - 8x + 17} \right)\)

\( = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + 1} \right]\)

\( = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 1} \right]\)

Đặt \(t = x - 4\) suy ra \(x - 3 = t + 1\) và \(x - 5 = t - 1\).

Khi đó, ta có:

\(D = \left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)\)\( = \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right) = {t^4} - 1.\)

Vì \({t^4} \ge 0\) với mọi \(t\) nên \(D \ge - 1\).

Dấu xảy ra khi \(t = 0\) hay \(x = 4\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(D\) là \( - 1\) khi \(x = 4\).