Câu hỏi:

20/09/2025 16

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A\,\,\left( {AB < AC} \right)$, $E$ là trung điểm của $BC$. Kẻ $EF$ vuông góc với $AB$ tại $F$, $ED$ vuông góc với $AC$ tại $D$. Gọi $O$ là giao điểm của $AE$ và $DF$

     a) Chứng minh rằng tứ giác $ADEF$ là hình chữ nhật.

     b) Lấy điểm $K$ sao cho $D$ là trung điểm của $EK$. Chứng minh tứ giác $AECK$ là hình thoi.

     c) Chứng minh rằng ba điểm $B,O,K$ thẳng hàng.

     d) Kẻ $EM$ vuông góc với $AK$ tại $M$. Chứng minh $\widehat {DMF} = 90^\circ $.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A\,\,\left( {AB < AC} \right)$, $E$ là trung điểm của $BC$. Kẻ \(EF (ảnh 1)$

a) Xét tứ giác $ADEF$ có:

$\widehat {FAD} = 90^\circ $ (do $\Delta ABC$

$\widehat {AFE} = 90^\circ $ (vì $EF$ vuông góc với $AB$ tại $F$);

$\widehat {ADE} = 90^\circ $ (vì $ED$ vuông góc với $AC$ tại $D$)

Vậy tứ giác $ADEF$ là hình chữ nhật.

b) Tam giác $ABC$ vuông có $AE$ là đường trung tuyến nên $AE = EB = EC = \frac{1}{2}BC$.

Suy ra tam giác $AEC$ cân tại $E$. Mà $ED$ là đường cao của tam giác nên $ED$ đồng thời là đường trung tuyến, do đó $D$ là trung điểm của $AC$ .

Xét tứ giác $AECK$ có $D$ là trung điểm của $AC$, $EK$ và $EK$ vuông góc với $AC$ tại $D$.

Suy ra tứ giác $AECK$ là hình thoi.

c) Vì tứ giác $ADEF$ là hình chữ nhật nên $O$ là trung điểm của $AE$.

Vì tứ giác $AECK$ là hình thoi nên $AK\,{\rm{//}}\,EC;\,\,AK = EC$

Mà $EC = EB$ do $E$ là trung điểm của $BC$ nên $AK\,{\rm{//}}\,EB;\,\,AK = EB$

Suy ra tứ giác $AKEB$ là hình bình hành. Khi đó, hai đường chéo $AE,\,\,BK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm của $AE$ nên $O$ cũng là trung điểm của $BK$.

Suy ra ba điểm $B,O,K$ thẳng hàng.

d) Ta có $\Delta AME$ vuông tại $E$ có $MO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AE$ nên $OM = \frac{1}{2}AE$

Mà tứ giác $ADEF$ là hình chữ nhật nên $FD = AE$. Do đó, $OM = \frac{1}{2}FD$

Xét $\Delta FMD$ có $MO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $FD$ và $OM = \frac{1}{2}FD$ nên $\Delta FMD$ vuông tại $M$, suy ra $\widehat {DMF} = 90^\circ .$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho x và y thoả mãn: ${x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0$. Tính giá trị của biểu thức:

$A = \frac{{{{\left( {x + y - 4} \right)}^{2222}} - {y^{2222}}}}{x}.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có: ${x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0$

Suy ra $2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0$

${x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 0$

$\left( {{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0$

${\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$

Với mọi $x,\,\,y$ ta có: ${\left( {x - 3y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$

Suy ra ${\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$

Do đó, để ${\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$ thì \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - 3y} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {y - 1} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\] hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3y = 0}\\{x - 3 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.$, tức là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.$.

Thay $x = 3,\,\,y = 1$ vào biểu thức $A,$ ta được:

\[A = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2222}} - {1^{2222}}}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}.\]

Câu 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
a) \[A = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {2 - {x^2}} \right)\left( {2 + {x^2}} \right)\].

Xem đáp án

Lời giải

a) \[A = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {2 - {x^2}} \right)\left( {2 + {x^2}} \right)\]

\[ = {x^4} - 4{x^2} + 4 + 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {4 - {x^4}} \right)\]

\[ = {x^4} - 4{x^2} + 4 + 2{x^2} - 4x + 2 + 4 - {x^4}\]

\[ = - 2{x^2} - 4x + 10\]\[ = - 2\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)\]

\[ = - 2\left( {{x^2} + 2x + 1 - 6} \right)\]\[ = - 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 12.\]

Với mọi $x$, ta luôn có \[{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,\] nên \[ - 2{\left( {x + 1} \right)^2} \le 0\], suy ra \[ - 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 12 \le 12\]

Do đó $A \le 12.$ Dấu xảy ra khi \[x = - 1\].

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ là $12$ khi $x = - 1$.

Câu 3