Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right)\), \(E\) là trung điểm của \(BC\). Kẻ \(EF\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\), \(ED\) vuông góc với \(AC\) tại \(D\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AE\) và \(DF\)
a) Chứng minh rằng tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật.
b) Lấy điểm \(K\) sao cho \(D\) là trung điểm của \(EK\). Chứng minh tứ giác \(AECK\) là hình thoi.
c) Chứng minh rằng ba điểm \(B,O,K\) thẳng hàng.
d) Kẻ \(EM\) vuông góc với \(AK\) tại \(M\). Chứng minh \(\widehat {DMF} = 90^\circ \).
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right)\), \(E\) là trung điểm của \(BC\). Kẻ \(EF\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\), \(ED\) vuông góc với \(AC\) tại \(D\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AE\) và \(DF\)
a) Chứng minh rằng tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật.
b) Lấy điểm \(K\) sao cho \(D\) là trung điểm của \(EK\). Chứng minh tứ giác \(AECK\) là hình thoi.
c) Chứng minh rằng ba điểm \(B,O,K\) thẳng hàng.
d) Kẻ \(EM\) vuông góc với \(AK\) tại \(M\). Chứng minh \(\widehat {DMF} = 90^\circ \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét tứ giác \(ADEF\) có:
\(\widehat {FAD} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\)
\(\widehat {AFE} = 90^\circ \) (vì \(EF\) vuông góc với \(AB\) tại \(F\));
\(\widehat {ADE} = 90^\circ \) (vì \(ED\) vuông góc với \(AC\) tại \(D\))
Vậy tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật.
b) Tam giác \(ABC\) vuông có \(AE\) là đường trung tuyến nên \(AE = EB = EC = \frac{1}{2}BC\).
Suy ra tam giác \(AEC\) cân tại \(E\). Mà \(ED\) là đường cao của tam giác nên \(ED\) đồng thời là đường trung tuyến, do đó \(D\) là trung điểm của \(AC\) .
Xét tứ giác \(AECK\) có \(D\) là trung điểm của \(AC\), \(EK\) và \(EK\) vuông góc với \(AC\) tại \(D\).
Suy ra tứ giác \(AECK\) là hình thoi.
c) Vì tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật nên \(O\) là trung điểm của \(AE\).
Vì tứ giác \(AECK\) là hình thoi nên \(AK\,{\rm{//}}\,EC;\,\,AK = EC\)
Mà \(EC = EB\) do \(E\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AK\,{\rm{//}}\,EB;\,\,AK = EB\)
Suy ra tứ giác \(AKEB\) là hình bình hành. Khi đó, hai đường chéo \(AE,\,\,BK\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà \(O\) là trung điểm của \(AE\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(BK\).
Suy ra ba điểm \(B,O,K\) thẳng hàng.
d) Ta có \(\Delta AME\) vuông tại \(E\) có \(MO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AE\) nên \(OM = \frac{1}{2}AE\)
Mà tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật nên \(FD = AE\). Do đó, \(OM = \frac{1}{2}FD\)
Xét \(\Delta FMD\) có \(MO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(FD\) và \(OM = \frac{1}{2}FD\) nên \(\Delta FMD\) vuông tại \(M\), suy ra \(\widehat {DMF} = 90^\circ .\)
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
d) \[D = \left( {y - 2} \right)\left( {y - 5} \right)\left( {y - 6} \right)\left( {9 - y} \right)\]
\[ = \left[ {\left( {y - 2} \right)\left( {9 - y} \right)} \right]\left[ {\left( {y - 5} \right)\left( {y - 6} \right)} \right]\]
\[ = \left( { - {y^2} + 11y - 18} \right)\left( {{y^2} - 11y + 30} \right)\]
Đặt \[t = {y^2} - 11y\], ta có
\[D = \left( { - t - 18} \right)\left( {t + 30} \right)\]\[ = - {t^2} - 48t - 540\]
\[ = - \left( {{t^2} + 48t + 576} \right) + 36\]\[ = - {\left( {t + 24} \right)^2} + 36.\]
Với mọi \(t,\) ta có \[{\left( {t + 24} \right)^2} \ge 0\] nên \[ - {\left( {t + 24} \right)^2} \le 0\] suy ra \[ - {\left( {t + 24} \right)^2} + 36 \le 36\].
Do đó \[D \le 36\].
Dấu xảy ra khi \(t = - 24\) hay \[{y^2} - 11y = - 24\]
\[{y^2} - 11y + 24 = 0\]
\[\left( {y - 3} \right)\left( {y - 8} \right) = 0\]
\[y = 3\] hoặc \[y = 8\]
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(D\) là \(36\) khi \(y = 3\); \(y = 8\).
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Trong các mặt hàng trên, sản phẩm được giảm giá nhiều nhất là áo sơ mi giảm \(35\% ,\) sản phẩm được giảm giá ít nhất là quần Jean giảm \(10\% .\)
b) Bạn An đã biểu diễn tỉ lệ giảm giá của các mặt hàng trên bằng biều đồ hình quạt tròn. Biểu đồ An sử dụng không phù hợp. Vì tỉ lệ phần trăm được giảm ở đây không phải tỉ lệ so với tổng thể.
c) An nên dùng biểu đồ cột để biểu diễn.
d) Áo sơ mi giảm \(35\% ,\) giá sau giảm là \(325\,\,000\) đồng. Do đó mỗi chiếc áo sơ mi nguyên giá sẽ là \(325\,\,000:\left( {100\% - 35\% } \right) = 500\,\,000\) (đồng).
Giá một chiếc quần Âu sau giảm là \(\frac{{1\,\,850\,\,000 - 325\,\,000 \cdot 2}}{4} = 300\,\,000\) (đồng).
Quần âu giảm giá \(25\% ,\) do đó mỗi chiếc quần âu nguyên giá sẽ là
\[300\,\,000:\left( {100\% - 25\% } \right) = 400\,\,000\] (đồng).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập