Tìm số tự nhiên \(n\) để:

e) \(\left( {5n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\) (với \[n < 5).\]

e) Với \(n \in \mathbb{N},\) ta có \(\left( {9 - 2n} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\) suy ra \(5\left( {9 - 2n} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\)

Nên để \(\left( {5n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\) thì \(2\left( {5n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\)

Suy ra \(\left[ {5\left( {9 - 2n} \right) + 2\left( {5n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\) hay \(49\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)\)

Tức là \(\left( {9 - 2n} \right) \in \)Ư\(\left( {49} \right) = \left\{ {1;\,\,7;\,\,49} \right\}\).

Mà \(n \in \mathbb{N}\) nên \(9 - 2n \le 9\), do đó \(9 - 2n \in \left\{ {1;\,\,7} \right\}\).

⦁ Nếu \(9 - 2n = 1,\) ta có \(2n = 8,\) suy ra \(n = 4.\)

Thử lại: với \(n = 4\) ta có \(5n + 2 = 5 \cdot 4 + 2 = 22;\,\,9 - 2n = 9 - 2 \cdot 4 = 1\) và \(22\,\, \vdots \,\,1\) nên \(n = 4\) thỏa mãn.

⦁ Nếu \(9 - 2n = 7,\) ta có \(2n = 2,\) suy ra \(n = 1.\)

Thử lại: với \(n = 1\) ta có \(5n + 2 = 5 \cdot 1 + 2 = 7;\,\,9 - 2n = 9 - 2 \cdot 1 = 7\) và \(7\,\, \vdots \,\,7\) nên \(n = 1\) thỏa mãn.

Vậy \(n \in \left\{ {1;\,\,4} \right\}.\)