Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[n,\] các cặp số sau là các số nguyên tố cùng nhau (hai số có ước chung lớn nhất là 1):

b) \[3n{\rm{ + }}10\] và \[n + 3\].

b) Gọi ƯCLN\(\left( {7n + 13,\,\,2n + 4} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Suy ra \(\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\) suy ra \[2\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\]

Từ \(\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\) suy ra \[7\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\]

Do đó \[\left[ {7\left( {2n + 4} \right) - 2\left( {7n + 13} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\] hay \[2\,\, \vdots \,\,d\] nên \[d \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\]

Để \(7n + 13\) và \(2n + 4\) là hai số nguyên tố cùng nhau thì \(d \ne 2\).

Mà \(2n + 4\) luôn chia hết cho 2 và \(7n + 13\) không chia hết cho 2 khi \(n\) chẵn.

Vậy \(n\) chẵn thì \(7n + 13\) và \(2n + 4\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Hướng dẫn giải

⦁ Các tam giác đều là các tam giác \(OAB,\,\,OBC,\,\,OCD,\,\,ODE,\,\,OEG,\,\,OGA,\,\,ACE,\,\,BDG.\)

⦁ Các hình thang cân là \(ABCD,\,\,BCDE,\,\,CDEG,\,\,DEGA.\)

⦁ Các hình thoi là \(OABC,\,\,OBCD,\,\,OCDE,\,\,ODEG,\,\,OEGA,\,\,OGAB.\)

⦁ Các hình chữ nhật là \(ABDE,\,\,BCEG,\,\,CDGA.\)

⦁ Hình lục giác đều là \(ABCDEG.\)