Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu có thể sử dụng ít nhất một trong ba thứ tiếng: Nga, Trung Quốc và Anh. Biết rằng có 30 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh, 40 đại biểu nói được tiếng Nga, 45 đại biểu nói được tiếng trung và 10 đại biểu chỉ nói được hai thứ tiếng Nga và
Trung Quốc. Hỏi có bao nhiêu đại biểu nói được cả ba thứ tiếng?

Hướng dẫn giải

b) Gọi ƯCLN\(\left( {3n + 10,\,\,n + 3} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\), suy ra \(\left( {3n + 10} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\) ta suy ra \(\left( {3n + 9} \right)\,\, \vdots \,\,d\).

Do đó \(\left( {3n + 10 - 3n - 9} \right)\,\, \vdots \,\,d\) hay \(1\,\, \vdots \,\,d\) nên \(d = 1.\)

Vậy \(3n + 10;\,\,n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi ƯCLN\(\left( {7n + 13,\,\,2n + 4} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Suy ra \(\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\) và \(\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\)

Từ \(\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\) suy ra \[2\left( {7n + 13} \right)\,\, \vdots \,\,d\]

Từ \(\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\) suy ra \[7\left( {2n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d\]

Do đó \[\left[ {7\left( {2n + 4} \right) - 2\left( {7n + 13} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\] hay \[2\,\, \vdots \,\,d\] nên \[d \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\]

Để \(7n + 13\) và \(2n + 4\) là hai số nguyên tố cùng nhau thì \(d \ne 2\).

Mà \(2n + 4\) luôn chia hết cho 2 và \(7n + 13\) không chia hết cho 2 khi \(n\) chẵn.

Vậy \(n\) chẵn thì \(7n + 13\) và \(2n + 4\) là hai số nguyên tố cùng nhau.