Một trường học không có quá 600 học sinh. Biết rằng khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì lần lượt dư 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh còn nếu khi xếp thành 13 hàng thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường này.

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh của trường đó là \(a\) học sinh \(\left( {a \in \mathbb{N},600 > a > 13} \right)\).

Khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì dư lần lượt 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh nên ta có \(a - 6\) chia hết cho 8, \(a - 10\) chia hết cho 10; \(a - 13\) chia hết cho 15.

Hay nhận thấy \(\left( {a + 2} \right) \vdots 8\); \(\left( {a + 2} \right) \vdots 10\); \(\left( {a + 2} \right) \vdots 15\).

Do đó, \(\left( {a + 2} \right)\) là BC\(\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)\)

Ta có: \(8 = {2^3};{\rm{ }}12 = {2^2} \cdot 3;{\rm{ 1}}5 = 3 \cdot 5\) suy ra BCNN\(\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)\)\( = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 = 120\).

Do đó, \(a + 2 = 120 \cdot k\) (với \(k\) là số tự nhiên)

Nếu \(k = 0\) thì \(a = - 2\) (loại)

Nếu \(k = 1\) thì \(a = 118\) (loại) (vì 118 không chia hết cho 13)

Nếu \(k = 2\) thì \(a = 238\) (loại) (vì 238 không chia hết cho 13)

Nếu \(k = 3\) thì \(a = 358\) (loại) (vì 358 không chia hết cho 13)

Nếu \(k = 4\) thì \(a = 478\) (loại) (vì 478 không chia hết cho 13)

Nếu \(k = 5\) thì \(a = 598\) (thỏa mãn vì 598 chia hết cho 13).

Nếu \(k = 6\) thì \(a = 718\) (loại vì \(a < 600\)).

Vậy số học sinh của trường này là 598 học sinh.