Chứng minh rằng nếu \[{a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd\] và \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số dương thì \[a = b = c = d.\]

Hướng dẫn giải

Vì \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} = 4abcd\) nên \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd = 0\). (*)

Ta có \({a^4} + {b^4} + {c^4} + {d^4} - 4abcd\)

\( = \left( {{a^4} - 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \right) + \left( {{c^4} - 2{c^2}{d^2} + {d^4}} \right) + \left( {2{a^2}{b^2} - 4abcd + 2{c^2}{d^{^2}}} \right)\)

\( = \left[ {{{\left( {{a^2}} \right)}^2} - 2{a^2}{b^2} + {{\left( {{b^2}} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {{c^2}} \right)}^2} - 2{c^2}{d^2} + {{\left( {{d^2}} \right)}^2}} \right] + 2\left[ {{{\left( {ab} \right)}^2} - 2ab.cd + {{\left( {cd} \right)}^2}} \right]\)

\( = {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2}\).

Từ (*) suy ra \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} + 2{\left( {ab - cd} \right)^2} = 0\). (**)

Mà \({\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} \ge 0\,,\,\,{\left( {{c^2} - {d^2}} \right)^2} \ge 0\,,\,\,2{\left( {ab - cd} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\).

Do đó (**) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 0\\{c^2} - {d^2} = 0\\ab - cd = 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = 0\\\left( {c + d} \right)\left( {c - d} \right) = 0\\ab - cd = 0\end{array} \right.\).

Khi đó .

Mà \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số dương nên \(a = b = c = d\).

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.