Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

Hướng dẫn giải

Biểu thức đại số tính quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh đến Bạc Liêu là:

\(s = \left( {9x + 5} \right)\left( {x + 2} \right) = 9{x^2} + 18x + 5x + 10 = 9{x^2} + 23x + 10\,\,{\rm{(km)}}{\rm{.}}\)

Vậy biểu thức đại số tính quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh đến Bạc Liêu là \(9{x^2} + 23x + 10\,\,{\rm{(km)}}{\rm{.}}\)

Hướng dẫn giải

Diện tích của khu vườn hình chữ nhật là:

\[{S_1} = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = {x^2} + 2x - x - 2 = {x^2} + x - 2\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].

Diện tích khu vườn hình vuông là:

\[{S_2} = {\left( {x + 1} \right)^2} = {x^2} + 2x + 1\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).\]

Biểu thức đại số tính tổng diện tích của hai khu vườn trên là:

\[S = {S_1} + {S_2} = \left( {{x^2} + x - 2} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\]

\[ = {x^2} + x - 2 + {x^2} + 2x + 1\]

\[ = \left( {{x^2} + {x^2}} \right) + \left( {2x + x} \right) + \left( {1 - 2} \right)\]

\[ = 2{x^2} + 3x - 1\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}})\].

Vậy biểu thức đại số tính tổng diện tích của hai khu vườn trên là \[2{x^2} + 3x - 1\,\,({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).\]

Hướng dẫn giải

a) Đa thức biểu thị số tiền thầy Việt phải trả cho cửa hàng là:

\[\left( {x + 30} \right)\left( {y - 2\,\,000} \right)\; = xy-2\,\,000x + 30y-60\,\,000\].

b) Bậc của đa thức vừa tìm được ở câu a là bậc 2.

Thay \[x = 20\,;\,{\rm{ }}y = 7\,\,000\] vào biểu thức \[xy-2\,\,000x + 30y-60\,\,000\], ta được:

\[20 \cdot 7\,\,000-2\,\,000 \cdot 20 + 30 \cdot 7\,\,000-60\,\,000\]

\[ = 140\,\,000-40\,\,000 + 210\,\,000-60\,\,000 = 250\,\,000\] (đồng).

Vậy số tiền thầy Việt phải trả là \[250\,\,000\] đồng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x.\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1.\)

b) Với \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1,\) ta có:

\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)

\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]

Vậy với \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)

c) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 = - 1\)

Do đó \(x = - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = - 4\) (thỏa mãn điều kiện)

Thay \(x = - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được: \(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} = - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(A = - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)

Hướng dẫn giải

a) Với mọi \(x\) ta có \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 4 \ge 4 > 0.\)

Do đó biểu thức \(P\) xác định khi và chỉ khi \(x - 10 \ne 0\) và \(x + 10 \ne 0\) hay \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10.\)

b) Với \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10,\) ta có:

\(P = \left( {\frac{{5x + 2}}{{x - 10}} + \frac{{5x - 2}}{{x + 10}}} \right) \cdot \frac{{x - 10}}{{{x^2} + 4}}\)

 \( = \frac{{\left( {5x + 2} \right)\left( {x + 10} \right) + \left( {5x - 2} \right)\left( {x - 10} \right)}}{{\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right)}} \cdot \frac{{x - 10}}{{{x^2} + 4}}\)

 \( = \frac{{5{x^2} + 50x + 2x + 20 + 5{x^2} - 50x - 2x + 20}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}\)

 \( = \frac{{10{x^2} + 40}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}\) \( = \frac{{10\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{\left( {x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \frac{{10}}{{x + 10}}.\)

Vậy với \(x \ne 10\) và \(x \ne - 10\) thì \(P = \frac{{10}}{{x + 10}}.\)

c) Thay \[x = \frac{2}{5}\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(P = \frac{{10}}{{x + 10}},\) ta được:

\(P = \frac{{10}}{{\frac{2}{5} + 10}} = \frac{{10}}{{\frac{{52}}{5}}} = \frac{{25}}{{26}}.\)

Vậy \(P = \frac{{25}}{{26}}\) khi \[x = \frac{2}{5}.\]

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \[P\] là:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\{x^2} + 2x \ne 0\\{x^3} - 4x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right) \ne 0\\x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\] suy ra \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 \ne 0}\\{x + 2 \ne 0}\\{x \ne 0\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\] hay \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2\;\;}\\{x \ne - 2}\\{x \ne 0\;\;}\end{array}} \right.\].

b) Với \[x \ne 2\,;\,\,x \ne - 2\,;\,\,x \ne 0\], ta có:

\(P = \left( {\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x}} - \frac{4}{{{x^3} - 4x}}} \right):\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]:\frac{{x - 2}}{x}\)

\( = \left[ {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{x}{{x - 2}}\)

\( = \frac{{x - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x + 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{{x^2} + x - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x - 2 + {x^2} - x - 2 - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2{x^2} - 8}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{2\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{2}{{x - 2}}\).