Tìm \[x,\] biết:

17) \({\left( {x + 1} \right)^{x + 10}} = {\left( {x + 1} \right)^{x + 4}}\) với \(x \in \mathbb{Z}\).     

17) \({\left( {x + 1} \right)^{x + 10}} = {\left( {x + 1} \right)^{x + 4}}\) với \(x \in \mathbb{Z}\)

Cách 1. \({\left( {x + 1} \right)^{x + 10}} = {\left( {x + 1} \right)^{x + 4}}\) với \(x \in \mathbb{Z}\)

\(x + 1 = - 1\) hoặc \(x + 1 = 1\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = - 2\) hoặc \(x = 0\) hoặc \(x = - 1\)

Thử lại:

- Với \(x = - 2\) ta có \({\left( { - 2 + 1} \right)^{ - 2 + 10}} = {\left( { - 2 + 1} \right)^{ - 2 + 4}}\) hay \({\left( { - 1} \right)^8} = {\left( { - 1} \right)^2}\) (luôn đúng).

- Với \(x = 0\) ta có \({\left( {0 + 1} \right)^{0 + 10}} = {\left( {0 + 1} \right)^{0 + 4}}\) hay \({1^{10}} = {1^4}\) (luôn đúng).

- Với \(x = - 1\) ta có \({\left( { - 1 + 1} \right)^{ - 1 + 10}} = {\left( { - 1 + 1} \right)^{ - 1 + 4}}\) hay \({0^9} = {0^3}\) (luôn đúng).

Vậy \(x \in \left\{ { - 1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right\}.\)

Cách 2. \({\left( {x + 1} \right)^{x + 10}} = {\left( {x + 1} \right)^{x + 4}}\) với \(x \in \mathbb{Z}\).

- Với \(x = - 1\) thì \({0^{ - 1 + 10}} = {0^{ - 1 + 4}}\) hay \({0^9} = {0^3}\) (luôn đúng). Do đó \(x = - 1\) thỏa mãn.

- Với \(x \ne - 1\) thì \(x + 1 \ne 0\).

* Trường hợp 1. \(x\) chẵn, giả sử \(x = 2k\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Do đó \(x + 1 = 2k + 1\) lẻ

Khi đó \(x + 10 = 2k + 10\); \(x + 4 = 2k + 4\) chẵn

Ta có \({\left( {2k + 1} \right)^{2k + 10}} = {\left( {2k + 1} \right)^{2k + 4}}\)

Suy ra \(2k + 1 = 1\) hoặc \(2k + 1 = - 1\)

\(2k = 0\) hoặc \(2k = - 2\)

\(k = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(k = - 1\) (thỏa mãn)

Suy ra \(x = 2k = 2 \cdot 0 = 0\) hoặc \[x = 2k = 2 \cdot \left( { - 1} \right) = - 2\].

* Trường hợp 2. \(x\) lẻ, giả sử \(x = 2k + 1\) với \(k \in \mathbb{Z}\)

Do đó \(x + 1 = 2k + 1 + 1 = 2k + 2\) chẵn

Khi đó \(x + 10 = 2k + 1 + 10 = 2k + 11\); \(x + 4 = 2k + 1 + 4 = 2k + 5\) lẻ

Ta có \[{\left( {2k + 2} \right)^{2k + 11}} = {\left( {2k + 2} \right)^{2k + 5}}\]

Suy ra \(2k + 2 = 0\) nên \(2k =  - 2\) hay \(k = - 1\) (nhận)

Suy ra \(x = 2k + 1 = - 1 + 1 = 0\) (loại)

Vậy \(x \in \left\{ { - 1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right\}.\)