Cho \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \le 0\].
Chứng minh rằng: \[\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2025}}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3} + ... + {b_{2025}}}} = \frac{n}{m}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Ta có: \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

\[{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

\[{\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\];

...

\[{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0\].

Do đó \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \ge 0\]

Mà đề bài cho \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \le 0\]

Suy ra \[{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = 0\]

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

\[{\left( {{a_k}m - {b_k}n} \right)^{2024}} = 0\]; \[k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}\] nên \[{a_k}m - {b_k}n = 0\,;\,\,k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}\].

Suy ra \[{a_k} = \frac{n}{m}{b_k}\] do đó \[{a_k} = n \cdot {t_k}\,;\,\,{b_k} = m \cdot {t_k}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\]

\[\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2025}}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3} + ... + {b_{2025}}}} = \frac{{n.{t_1} + n.{t_2} + n.{t_3} + ... + n.{t_{2025}}}}{{m.{t_1} + m.{t_2} + m.{t_3} + ... + m.{t_{2025}}}}\]

\[ = \frac{{n.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}}{{m.\left( {{t_1} + {t_2} + {t_3} + ... + {t_{2025}}} \right)}} = \frac{n}{m}\].

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình vẽ $AB\,{\rm{//}}\,DE$. Tính số đo $\widehat {BCD}$.

$Cho hình vẽ $AB\,{\rm{//}}\,DE$. Tính số đo $\widehat {BCD}$. (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Kẻ đường thẳng qua $C$ và song song với \[AB\].

Mà $AB\,{\rm{//}}\,DE$ nên đường thẳng đó cũng song song với \[DE\].

Do đó ${\widehat C_1} + \widehat {ABC} = 180^\circ $ và $\widehat {{C_2}} + \widehat {CDE} = 180^\circ $ (hai góc trong cùng phía)

Do đó, \[{\widehat C_1} = 60^\circ \] và \[\,{\widehat C_2} = 45^\circ \].

Suy ra \[\widehat {BCD} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \].

Câu 2

Cho hình vẽ dưới đây biết $\widehat {DCn} = 70^\circ $.

$Cho hình vẽ dưới đây biết $\widehat {DCn} = 70^\circ $. a) Chứng minh $xy\parallel mn.$ b) Tính số đo góc $\widehat {DCy}$. c) Kẻ tia phân giác của $\widehat {DCy}$ cắt đường thẳng $mn$ tại $E$. Tính số đo góc $\widehat {ADE}$. (ảnh 1)$

a) Chứng minh $xy\parallel mn.$

b) Tính số đo góc $\widehat {DCy}$.

c) Kẻ tia phân giác của $\widehat {DCy}$ cắt đường thẳng $mn$ tại $E$. Tính số đo góc $\widehat {ADE}$.

Xem đáp án

Lời giải

$Cho hình vẽ dưới đây biết $\widehat {DCn} = 70^\circ $. a) Chứng minh $xy\parallel mn.$ b) Tính số đo góc $\widehat {DCy}$. c) Kẻ tia phân giác của $\widehat {DCy}$ cắt đường thẳng $mn$ tại $E$. Tính số đo góc $\widehat {ADE}$. (ảnh 2)$

a) Ta có: $xy \bot AB$ và $mn \bot AB$ nên $xy\parallel mn.$

b) Ta có: $\widehat {DCB} + \widehat {DCn} = 180^\circ $ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat {DCB} = 180^\circ - \widehat {DCn} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ $.

Vì $xy\parallel mn$ suy ra $\widehat {DCB} = \widehat {CDy} = 110^\circ $ (hai góc so le trong).

c) Vì $DE$ là tia phân giác của $\widehat {CDy}$ nên $\widehat {CDE} = \widehat {EDy} = \frac{{\widehat {CDy}}}{2} = \frac{{110^\circ }}{2} = 55^\circ $.

Vì $xy\parallel mn$ suy ra $\widehat {ECD} = \widehat {ADC} = 70^\circ $ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat {ADE} = \widehat {ADC} + \widehat {CDE} = 70^\circ + 55^\circ = 125^\circ $.

Câu 3