Ông Hậu khoán số tiền \[3,6\] triệu đồng để thuê sơn tường nhà ông cho một nhóm thợ. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm 4 giờ thì họ làm được \[\frac{5}{9}\] công việc. Sau đó họ cùng làm trong 4 giờ thì chỉ còn \[\frac{1}{{18}}\] bức tường chưa sơn. Vì hai người này bận công việc khác nên đưa người thứ ba làm phần còn lại. Xong việc ông Hậu trả tiền, nhưng cả ba lúng túng không biết phân chia như thế nào. Ông Hậu nói phải chia theo phần công việc mỗi người đã làm chứ không theo giờ làm được vì năng suất mỗi người không như nhau. Em hay giúp ông Hậu tính toán tiền công của mỗi người.

Hướng dẫn giải

Theo đề, phần công việc làm thêm trong 4 giờ là: \[1 - \frac{1}{{18}} - \frac{5}{9} = \frac{7}{{18}}\] (công việc)

Phần công việc mà người thứ ba làm là \[\frac{1}{{18}}\] công việc.

Gọi năng suất của người thứ nhất là \[x\], năng suất của người thứ hai làm được là \[y\].

Vì trong 7 giờ người thứ nhất và 4 giờ người thứ hai làm được \[\frac{5}{9}\] công việc nên ta có:

\[7x + 4y = \frac{5}{9}\] nên \[4y = \frac{5}{9} - 7x\] (1)

Trong 4 giờ nữa, cả hai cùng làm được \[\frac{7}{{18}}\] công việc nên ta có: \[4x + 4y = \frac{7}{{18}}\] (2)

Thay (1) vào (2), ta được: \[4x + \frac{5}{9} - 7x = \frac{7}{{18}}\] hay \[\frac{5}{9} - 3x = \frac{7}{{18}}\] do đó \[3x = \frac{5}{9} - \frac{7}{{18}}\].

Suy ra \[x = \frac{1}{{18}}\].

Do đó, \[y = \left( {\frac{7}{{18}} - 4 \cdot \frac{1}{{18}}} \right):4 = \frac{1}{{24}}\].

Từ đây, phần công việc của người thứ nhất làm được là: \[7 \cdot \frac{1}{{18}} + 4 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{{11}}{{18}}\] (công việc)

Phần công việc của người thứ hai làm được là: \[4 \cdot \frac{1}{{24}} + 4 \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{1}{3}\] (công việc) .

Số tiền mỗi người được tỉ lệ với số phần công việc họ làm.

Do đó, số tiền mà người thứ nhất nhận được là: \[\frac{{11}}{{18}} \cdot 3600000 = 2{\rm{ }}200{\rm{ }}000\] (đồng).

Số tiền người thứ ba nhận được là: \[3{\rm{ }}600{\rm{ }}000 \cdot \frac{1}{3} = 1{\rm{ }}200{\rm{ }}000\] (triệu đồng)

Số tiền người thứ ba được nhận là: \[3{\rm{ }}600{\rm{ }}000 - 2{\rm{ }}200{\rm{ }}000 - 1{\rm{ }}200{\rm{ }}000 = 200{\rm{ }}000\] (đồng).