Cho hình vẽ \(AB\,{\rm{//}}\,DE\). Tính số đo \(\widehat {BCD}\).

a) Vì \(CD\) là phân giác \(\widehat {BCA}\) suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {ACD}\).

Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta ECD\) có:

\(AC = AF\,;\,\,\widehat {BCD} = \widehat {ACD}\,;\,\,CD\) chung.

Do đó \(\Delta ACD = \Delta ECD\) (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {CED} = \widehat {CAD} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(DE \bot BC\).

b) Vì \(AM\parallel CD\) suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {DCA}\) (hai góc so le trong)

Vì \(CM \bot CA\) nên \(\widehat {MCA} = 90^\circ \).

Xét \(\Delta CAD\) và \(\Delta ACM\) có:

\(\widehat {DAC} = \widehat {MCA} = 90^\circ \,;\,\,CA\) chung; \(\widehat {DCA} = \widehat {MAC}\).

Do đó \(\Delta CAD = \Delta ACM\) (g.c.g).

Suy ra (hai cạnh tương ứng).

c) Xét tam giác \(NBC\) và tam giác \(NKC\) có:

\(\widehat {BNC} = \widehat {KNC} = 90^\circ \,;\,\,NC\) chung; \(\widehat {BCN} = \widehat {CKN}\)

Suy ra \(\Delta NBC = \Delta NKC\,\)(g.c.g)

Do đó \(\widehat {NBC} = \widehat {NKC}\,;\,\,NB = NK\).

Xét tam giác \(NBD\) và tam giác \(NKD\) có:

\(NB = ND\,;\,\,\widehat {BND} = \widehat {KND}\,;\,\,ND\) chung.

Suy ra \(\Delta NBD = \Delta NKD\) (c.g.c).

Do đó, \(\widehat {NBD} = \widehat {NKD}\) (hai góc tương ứng)

d) Xét tam giác \(BKE\) và tam giác \(BKC\) có:

\[\widehat {BKE} = \widehat {BKA}\,;\,\,BK\] chung; \[\widehat {BKE} = \widehat {KBA}\].

Do đó \(\Delta BKE = \Delta BKC\) (g.c.g)

Suy ra \(\widehat {BEK} = \widehat {KAB} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(KE \bot BC\).

Mà \(DE \bot AC\).

Suy ra ba điểm \(K,\,D,\,E\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Xét \[\Delta AMB\] và \[\Delta CMD\] có:

\[MD = MB\] (giả thiết)

\[\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\] (2 góc đối đỉnh)

\[MA = MC\] (giả thiết)

Suy ra \[\Delta AMB = \Delta CMD\] (c.g.c)

b) Xét \[\Delta AMD\] và \[\Delta CMB\] có: \[MD = MB\] (giả thiết), \[\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\] (đối đỉnh), \[MA = MC\] (giả thiết)

Vậy \[\Delta AMD = \Delta CMB\] (c.g.c) suy ra \[\widehat {ADM} = \widehat {CBM}\] (hai góc tương ứng), mà hai góc này lại ở vị trí sole trong nên \[AD\,{\rm{//}}\,BC\] (dấu hiệu nhận biết)

c) Ta có: \[\Delta AMB = \Delta CMD\] (chứng minh trên) suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {MCD}\] (hai góc tương ứng) mà hai góc này lại ở vị trí sole trong nên \[AB\,{\rm{//}}\,\,CD\] (1)

Ta lại có: \[MH \bot AB\] (giả thiết) (2). Từ (1) và (2) suy ra \[MH \bot CD\] và \[MK \bot DC\] (giả thiết) suy ra 3 điểm \[H,M,K\] thẳng hàng (định lý)

Xét \[\Delta AMH\] và \[\Delta CMK\] có:

\[\widehat {AHM} = \widehat {MKC} = 90^\circ \] (giả thiết)

\[AM = MC\] (giả thiết)

\[\widehat {AMH} = \widehat {CMK}\] (đối đỉnh)

Vậy \[\Delta AMH = \Delta CMK\] (ch – gn) suy ra \[AM = MC\] hay \[M\] là trung điểm \[HK\].