Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.EFGH\] có \[AB = AE = 2\], \[AD = 3\] và đặt \[\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow b  = \overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow c  = \overrightarrow {AE} \]. Lấy điểm \[M\] thỏa \[\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} \] và điểm \[N\] thỏa \[\overrightarrow {EN}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {EC} \]. (tham khảo hình vẽ)

Khi đó ta có

a) \[\overrightarrow {MA}  =  - \frac{1}{5}\overrightarrow b \].

b) \[\overrightarrow {EN}  = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\].

c) \[{\left( {m.\overrightarrow a  + n.\overrightarrow b  + n.\overrightarrow c } \right)^2} = {m^2}.{\overrightarrow a ^2} + {n^2}.{\overrightarrow b ^2} + {p^2}.{\overrightarrow c ^2}\] với \[m,\,n,\,p\] là các số thực.

d) \[MN = \frac{{\sqrt {61} }}{5}\].

Gọi \(G\) là trọng tâm tâm giác \(BCD\), \(M\) là trung điểm \(CD\).

Ta có \[\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  =  - 3\overrightarrow {GA}  = 3\overrightarrow {AG}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {3\overrightarrow {AG} } \right| = 3AG\].

Xét tam giác đều \(BCD\) có \(BM = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BM = 5\sqrt 3 \).

Vì tứ diện \(ABCD\) đều nên \(AG \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow \widehat {AGB} = 90^\circ \).

Xét tam giác \(ABG\) có \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{\left( {5\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 5\sqrt 6 \).

Do đó \[\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right| = 3AG = 15\sqrt 6  \Rightarrow a = 15\].

Vậy giá trị của \(a = 15\).

Trả lời: \(120\).

Ta có \(6\sqrt 3  = \left| {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 4{b^2} + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 108 \Leftrightarrow {6^2} + {4.6^2} + 4.\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 108 \Leftrightarrow 4.\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 72 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 18\).

Lại có \[\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 18}}{{6.6}} = \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \].

Khi đó góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là \[120^\circ \].