Cho hình lăng trụ tam giác đều \[ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\] có cạnh đáy bằng \[x\] và chiều cao bằng \[y\]. (tham khảo hình vẽ)

Khi đó ta có

a) \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}{x^2}\].

b) \[\overrightarrow {A{C_1}}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{A_1}} \].

c) \[\overrightarrow {C{B_1}}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {A{A_1}} \].

d) Góc \[\left( {A{C_1},\,C{B_1}} \right) > 60^\circ \] khi \[\frac{y}{x} < \sqrt 2 \].

Gọi \(G\) là trọng tâm tâm giác \(BCD\), \(M\) là trung điểm \(CD\).

Ta có \[\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \]

\[ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  =  - 3\overrightarrow {GA}  = 3\overrightarrow {AG}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {3\overrightarrow {AG} } \right| = 3AG\].

Xét tam giác đều \(BCD\) có \(BM = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BM = 5\sqrt 3 \).

Vì tứ diện \(ABCD\) đều nên \(AG \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow \widehat {AGB} = 90^\circ \).

Xét tam giác \(ABG\) có \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}}  = \sqrt {{{15}^2} - {{\left( {5\sqrt 3 } \right)}^2}}  = 5\sqrt 6 \).

Do đó \[\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right| = 3AG = 15\sqrt 6  \Rightarrow a = 15\].

Vậy giá trị của \(a = 15\).

Trả lời: \(120\).

Ta có \(6\sqrt 3  = \left| {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 4{b^2} + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 108 \Leftrightarrow {6^2} + {4.6^2} + 4.\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 108 \Leftrightarrow 4.\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 72 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 18\).

Lại có \[\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 18}}{{6.6}} = \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \].

Khi đó góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là \[120^\circ \].