Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}}\).

Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \({u_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} +  \ldots  + \frac{1}{{(2n - 1) \cdot (2n + 1)}}\). Khi đó:

a) Số hạng thứ 2021 là \(\frac{{2021}}{{4040}}\)

b) Số hạng thứ 2022 là \(\frac{{2022}}{{4043}}\)

c) Số hạng thứ 2023 là \(\frac{{2023}}{{4047}}\)

b) Số hạng thứ 2024 là \(\frac{{2024}}{{4049}}\)

Cho dãy số \(({u_n})\) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\). Số \(\frac{{167}}{{84}}\) là số hạng thứ mấy?

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{n}{{{4^n}}}\). Khi đó:

a) Ta có \({u_n} = \frac{n}{{{4^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

b) Ta có \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1,\forall n \ge 1\)

c) Ta có \({u_{2024}} < {u_{2023}}\)

d) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({u_n} = 1 - \frac{1}{n}\). Khi đó:

a) Ta có \({u_3} = \frac{2}{3}\)

b) \({u_7} - {u_8} = \frac{1}{{56}}\)

c) \({u_{n + 1}} - {u_n} =  - \frac{1}{{n(n + 1)}}\)

d) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Cho dãy số \(({u_n})\)biết \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left[ {{{\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)}^n}} \right]\). Tìm số hạng \({u_6}\).

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} =  - 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 3}\end{array}} \right.\) với \(n \ge 1\). Khi đó:

a) Bố số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là \( - 1;2;5;8;\)

b) Số hạng thứ năm của dãy là \(13\)

c) Công thức số hạng tổng quát của dãy số là: \({u_n} = 2n - 3\).

d) 101 là số hạng thứ 35 của dãy số đã cho.