Ba số phân biệt tạo thành một cấp số nhân có tổng bằng 78 ; đồng thời chúng là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng. Tìm ba số đó.

a) Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}}\\{{q^5} = \frac{1}{{243}}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = \frac{1}{3}}\\{{u_1} = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Năm số hạng đầu của \(\left( {{u_n}} \right)\) là: \({u_1} = 2;{u_2} = \frac{2}{3};{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}};{u_5} = \frac{2}{{81}}\).

c) Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}}\).

Xét \({u_n} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}}\)

\( \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9.\)

Vậy \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\).

d) Tổng chín số hạng đầu của cấp số nhân là: \({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2.\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2,99985 < 3\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_2} + {u_3} = 168}\\{{u_4} + {u_5} + {u_6} = 21}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + {u_1} \cdot q + {u_1} \cdot {q^2} = 168}\\{{u_1} \cdot {q^3} + {u_1} \cdot {q^4} + {u_1} \cdot {q^5} = 21}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1}(1 + q + {q^2}) = 168}\\{{u_1}{q^3}(1 + q + {q^2}) = 21}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = \frac{{168}}{{1 + q + {q^2}}}}\\{{q^3} = \frac{1}{8}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 96}\\{q = \frac{1}{2}}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

Ta có \(24 = 96.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3 - 1}}\)

Ta có \({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{96\left[ {1 - {{(\frac{1}{2})}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{3069}}{{16}}\)