Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\3{u_7} - 2{u_4} = - 34\end{array} \right.\).

a) Công sai của cấp số cộng là \(d = - 3\)

b) Số hạng thứ 100 của cấp số  là \({u_{100}} = - 290\)

c) Tổng 15 số hạng đầu của cấp số bằng \( - 285\)

d) Tổng \(S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}} = - 1542\).

a) Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - ({u_1} + d) = - 21\\3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) = - 34\end{array} \right.\)

$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=-7\\ u_1+12d=-34\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ d=-3\end{array}\right.$

b)  Số hạng thứ 100 của cấp số: \({u_{100}} = {u_1} + 99d = - 295\)

c) Tổng của 15 số hạng đầu: \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] = - 285\)

d) Ta có: \(S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}} = \frac{{27}}{2}\left[ {2{u_4} + 26d} \right]\)

                  \( = 27\left( {{u_1} + 16d} \right) = - 1242\).

Chú ý: Ta có thể tính \(S\) theo cách sau:

\(S = {S_{30}} - {S_3} = 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) - \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) = - 1242\).