Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9\end{array} \right.,\forall n \ge 1\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) xác định bởi \({v_n} = {u_n} + 3,\forall n \ge 1\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Ta có năm số hạng đầu của dãy

\({u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}\), \({u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}\)

Ta có: \({u_n} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}\), do đó \({u_n}\) nguyên khi và chỉ khi \(\frac{5}{{n + 1}}\) nguyên hay \(n + 1\) là ước của 5.

Điều đó xảy ra khi \(n + 1 = 5 \Leftrightarrow n = 4\)

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là \({u_4} = 7\)

Theo công thức truy hồi của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3n - 2\).

Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\)\( \Rightarrow {v_n} = 3n - 2\).

Ta có \({v_{n + 1}} - {v_n}\)\( = \left[ {3\left( {n + 1} \right) - 2} \right] - \left( {3n - 2} \right)\)\( = 3\),\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = 3.1 - 2 = 1\) và công sai \(d = 3\).

Ta lại có: \({u_n} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + \left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right) + ... + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + {u_1}\)\( = {v_{n - 1}} + {v_{n - 2}} + ... + {v_1} + 2\).

Mà \({v_{n - 1}} + {v_{n - 2}} + ... + {v_1} = {S_{n - 1}}\)\( = \frac{{n - 1}}{2}\left[ {2{v_1} + \left( {n - 2} \right)d} \right]\)\( = \frac{{\left[ {2 + 3\left( {n - 2} \right)} \right]\left( {n - 1} \right)}}{2}\)\( = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}\)

Vậy \({u_n} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2} + 2\)\( \Rightarrow {u_{101}} = \frac{{100.299}}{2} + 2 = 14952\).