Cho tứ diện ABCD. Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AC\) và \(M\) là một điểm bất kì thuộc cạnh \(AD\). Giả sử \(ME\) cắt \(BD\) tại \(N\) và \(MF\) cắt \(CD\) tại \(P(H.4.11)\). Chứng minh rằng \(NP//EF\).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((GIJ)\) và \((BCD)\):

Vì \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\) nên \(IJ//CD\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{G \in (GIJ) \cap (BCD)}\\{IJ//CD}\\{IJ \subset (GIJ),CD \subset (BCD)}\end{array} \Rightarrow Gx = (GIJ) \cap (BCD)} \right.\), trong đó \(Gx\) là đường thẳng qua \(G\) và \(Gx//IJ//CD\).

c) Trong mặt phẳng \((BCD)\), kẻ \(Gx\) song song \(CD\) cắt \(BC\) tại \(M\), cắt \(BD\) tại \(N\).

Tính \(2IJ + 3MN\)

Gọi \(E\) là trung điểm \(CD\), theo định lí Thalès, ta có:

\(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BG}}{{BE}} = \frac{2}{3}{\rm{ (v\`i }}GM//CE);\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{BM}}{{BC}}{\rm{ (v\`i }}MN//CD{\rm{)}}{\rm{. }}\)

Suy ra \(\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{2}{3}\) hay \(MN = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\).

Vì \(IJ\) là đường trung bình tam giác \(ACD\) nên \(IJ = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\).

Do đó \(2IJ + 3MN = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 18\).

d) \(3IJ + 2MN = 3 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 17\)

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) :

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S \in (SAB) \cap (SCD)}\\{AB \subset (SAB);CD \subset (SCD).}\\{AB//CD}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(Sx = (SAB) \cap (SCD)\), với \(Sx\) là đường thẳng qua \(S\) và \(Sx//AB//CD\).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((MBC)\) và \((SAD)\):

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in SA,SA \subset (SAD)}\\{M \in (MBC)}\end{array} \Rightarrow M \in (MBC) \cap (SAD)} \right.\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in (MBC) \cap (SAD)}\\{BC \subset (MBC);AD \subset (SAD){\rm{. }}}\\{BC//AD}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(My = (MBC) \cap (SAD),My\) là đường thẳng qua \(M\) và \(My//BC//AD\).

d) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((MEF)\) và \((SAC)\) :

Ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in SA,SA \subset (SAC)}\\{M \in (MEF)}\end{array} \Rightarrow M \in (MEF) \cap (SAC)} \right.\).

Xét tam giác \(ABC\), ta có \(EF\) là đường trung bình \( \Rightarrow EF//AC\).

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in (MEF) \cap (SAC)}\\{EF \subset (MEF);AC \subset (SAC){\rm{. }}}\\{EF//AC}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(Mt = (MEF) \cap (SAC),Mt\) là đường thẳng qua \(M\) và \(Mt//EF//AC\).