Cho tứ diện đều \[ABCD\]. Gọi \[I\] là trung điểm đoạn \[CD\], \[M\] là điểm nằm trên đoạn \[BC\] (\[M\] khác \[B\] và \[C\]), \[\left( \alpha \right)\] là mặt phẳng qua \[M\] và song song với mặt phẳng \[\left( {ABI} \right)\]. Khi đó thiết diện của tứ diện \[ABCD\] khi cắt bởi \[\left( \alpha \right)\] là              

a) b) c) Cho hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Chứng minh rằng: \((ADF)//(BCE)\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{EF//CD(//AB)}\\{EF = CD( = AB)}\end{array} \Rightarrow EFDC} \right.\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow FD//EC\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD//BC;AF//BE}\\{AD,AF \subset (ADF);AD \cap AF = A}\\{BC,BE \subset (BEC);BC \cap BE = B}\end{array} \Rightarrow (ADF)//(BCE)} \right.\)

d) Tính \(\frac{{AN}}{{NC}}\).

Vẽ mp \((P)\) chứa \(M\) và \((P)//(ADF)\) cắt \(AB,AC,CD,EF\) lần lượt tại \(I,N,K,J\).

Ta có: \(\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{AN}}{{NC}}(IN//BC)\)

Ta có: \(\frac{{EJ}}{{IS}} = \frac{{ME}}{{MS}} = 2(IS//JE)\)

\(BI = EJ\) (tứ giác BIJE là hình bình hành)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BI}}{{IS}} = 2 \Rightarrow \frac{{BI}}{2} = \frac{{IS}}{1} = \frac{{BI + IS}}{{2 + 1}} = \frac{{BS}}{3}\\ \Rightarrow BI = \frac{2}{3}BS;IS = \frac{1}{3}BS\end{array}\)

Ta có: \(AI = AS + AI = BS + \frac{1}{3}BS = \frac{4}{3}BS \Rightarrow > \frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{\frac{4}{3}BS}}{{\frac{2}{3}BS}} = 2 \Rightarrow \frac{{AN}}{{NC}} = 2\)

Ta có \(MO\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\), suy ra \(MO//SC\). Do đó \(MO//(SBC)\). (1)

Ta có \(NO\) là đường trung bình của tam giác \(SDB\), suy ra \(NO//SB\). Do đó \(NO//(SBC)\). (2)

Mặt khác, \(NO \cap MO = O\) và \(NO,MO \subset (OMN)\). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \((OMN)//(SBC)\).