Cho hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Gọi \(M\) là trọng tâm \(\Delta ABE\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với mặt \((ADF)\). Lấy \(N\) là giao điểm của \((P)\) và \(AC\). Khi đó:

a) \(EFDC\) là hình thang

b) \(FD//EC\)

c) \((ADF)//(BCE)\).

d) \(\frac{{AN}}{{NC}} = 3\)

a) Chứng minh \(mp\left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right)\) và \(mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right)\) song song:

Ta có \(A{A^\prime }//D{D^\prime }\) và \(AB//CD\) nên \(mp\left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right)//mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right)\).

b) Chứng minh \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình bình hành:

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm mp}\nolimits} \left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right)//mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right)}\\{(Q) \cap mp\left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right) = {A^\prime }{B^\prime }}\\{(Q) \cap mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right) = {C^\prime }{D^\prime }}\end{array} \Rightarrow {A^\prime }{B^\prime }//{C^\prime }{D^\prime }} \right.\).(1)

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được \({A^\prime }{D^\prime }//{B^\prime }{C^\prime }\). (2)

c) Từ (1) và (2) suy ra \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình bình hành.

d) Chứng minh \(O{O^\prime }//A{A^\prime }\) :

\(\begin{array}{l}{\rm{ Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \cap \left( {BD{D^\prime }{B^\prime }} \right) = O{O^\prime }}\\{A{A^\prime } \subset \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right),B{B^\prime } \subset \left( {BD{D^\prime }{B^\prime }} \right)}\\{A{A^\prime }//B{B^\prime }}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow O{O^\prime }//A{A^\prime }//B{B^\prime }{\rm{ hay }}O{O^\prime }//A{A^\prime }.\end{array}\)

Gọi \(M,{M^\prime }\) lần lượt là trung điểm của \(BC,{B^\prime }{C^\prime }\).

\(M{M^\prime }\) là đường trung bình của hình bình hành \(BC{C^\prime }{B^\prime }\) nên

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M{M^\prime }//B{B^\prime }}\\{M{M^\prime } = B{B^\prime }}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M{M^\prime }//A{A^\prime }}\\{M{M^\prime } = A{A^\prime }}\end{array} \Rightarrow AM{M^\prime }{A^\prime }} \right.} \right.{\rm{ l\`a h\`i nh b\`i nh h\`a nh}}{\rm{. }}\)

Vì \(I,K\) theo thứ tự là trọng tâm các tam giác \(ABC,{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) nên

\(IM = K{M^\prime } = \frac{1}{3}{A^\prime }{M^\prime } = \frac{1}{3}AM,\)mà \(IM//K{M^\prime }\) nên \(IK{M^\prime }M\) là hình bình hành.

Suy ra \(IK//M{M^\prime },M{M^\prime } \subset \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right) \Rightarrow IK//\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\).(1)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(C{C^\prime }\), tam giác \(AMN\) có

b) \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AG}}{{AN}} = \frac{2}{3}{\rm{ }}\)(tính chất trọng tâm)

Suy ra \(IG//MN\) mà \(MN \subset \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\) nên \(IG//\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\).(2)

c) Từ (1) và (2) suy ra \((IKG)//\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\).

Vì \(\left( {{A^\prime }KG} \right) \equiv \left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right),\left( {AI{B^\prime }} \right) \equiv \left( {AM{B^\prime }} \right)\), ta cần chứng minh

\(\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)//\left( {AM{B^\prime }} \right)\).

Dễ thấy \(AM{M^\prime }{A^\prime }\) là hình bình hành nên \(AM//{A^\prime }{M^\prime }\) mà \({A^\prime }{M^\prime } \subset \left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)\) nên \(AM//\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)\). (3)

Ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CM//{B^\prime }{M^\prime }}\\{CM = {B^\prime }{M^\prime }}\end{array} \Rightarrow CM{B^\prime }{M^\prime }} \right.\) là hình bình hành, suy ra \({B^\prime }M//C{M^\prime },C{M^\prime } \subset \left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right) \Rightarrow {B^\prime }M//\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)\).(4)

d) Từ (3) và (4) suy ra \(\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)//\left( {AM{B^\prime }} \right)\), hay \(\left( {{A^\prime }KG} \right)//\left( {AI{B^\prime }} \right)\).