Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, …n,… trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.Giả sử quy trình tô màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích mà chuột Mickey phải tô màu.

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Biết giới hạn \(\lim \left( { - 2{n^3} - 5n + 9} \right) = a\) và \(\lim \frac{{{4^n} + 3}}{{1 + 3 \cdot {4^{n + 1}}}} = b\). Khi đó:

a) Tích \(a.b = 3\)

b) Hàm số \(y = \sqrt {1 - x} \) có tập xác định là \(D\left( {a;1} \right]\)

c) Giá trị \(b\) là số lớn hơn \(0\)

d) Phương trình lượng giác \(\cos x = b\) vô nghiệm

Tìm được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: \(S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \ldots \) và \(T = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{3^n}}} + \ldots \)Khi đó:

a) \(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \ldots \)là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = - \frac{1}{2}.\)

b) \(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{3^n}}} + \ldots \)là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = \frac{1}{3}{\rm{. }}\)

a) \(S > T\)

b) \(S = \frac{1}{T}\)

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{n^2} - n + 3} \right)\).

Cho tổng: \({S_n} = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\). Tính \[{S_{30}}\]

Biết giới hạn  và . Khi đó:

a) \(\lim \left( { - 3{n^2} + \frac{1}{n}} \right) = a\)

b) \(x = b\) là hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = 2x\) với trục hoành

c) \(\lim {\left( {\frac{1}{{2024}}} \right)^n} = b\)

d) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = b\), thì \({u_3} = 2\)

Tính tổng \(M = \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{5^3}}} + ... + \frac{1}{{{5^{10}}}}\)

Cho \({u_n} = \frac{{{7^n} + {2^{2n - 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{7^{n + 1}} + {5^{n - 1}}}}\). Biết \(\lim {u_n} = \frac{a}{b}\) (với \(a,b \in \mathbb{Z};\frac{a}{b}\) tối giản). Khi đó:

a) \(a + b = 8\)

b) \(a - b = - 7\)

c) Bộ ba số \(a;b;13\) tạo thành một cấp số cộng có công sai \(d = 7\)

d) Bộ ba số \(a;b;49\)tạo thành một cấp số nhân có công bội \(q = 7\)