Tìm được các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( { - 5{x^3} - 4x + 2} \right) = 2\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2x - 3{x^2}}}{{4x + 1}} = - \frac{3}{4}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} \frac{{{x^2} + 2x - 15}}{{x + 5}} = + \infty \)

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{{x^2} + 4x}} = \frac{5}{4}\).

a) Ta có: Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x) = - 4\)

b) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} < - 1\) và \({x_n} \to - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = {x_n} - 2\).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = - 1 - 2 = - 3\).

c) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} > - 1\) và \({x_n} \to - 1\), ta có: \(f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {x_n^2 + 1} \).

Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \lim f\left( {{x_n}} \right) = \sqrt {{{( - 1)}^2} + 1} = \sqrt 2 \).

d) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)\) (hay \( - 3 \ne \sqrt 2 \) ) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x)\).

Có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + {x^2} + {x^3} + ... + {x^{50}} - 50}}{{x - 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) + .... + \left( {{x^{49}} + {x^{48}} + ... + 1} \right)} \right]\)

\( = 1 + 2 + 3 + ..... + 50 = 25\left( {1 + 50} \right) = 1275.\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 1275\).