Thống kê tổng số giờ nắng trong tháng 9 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau trong các năm từ 2002 đến 2021 được thống kê như sau:

a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là \(\left[ {80;98} \right)\) và độ dài mỗi nhóm bằng 18. Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

c) Hãy tính sai số tương đối của độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm so với độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

(Kết quả các phép tính làm tròn đến hàng phần nghìn)

a) Đúng. Xét số liệu ở Hà Nội:

Khoảng biến thiên: \(R = 31,8 - 16,8 = 15\).

Số phần tử của mẫu là \(n = 12\).

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là \(c{f_1} = 2,c{f_2} = 5,c{f_3} = 7,c{f_4} = 8,c{f_5} = 12\).

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) mà \(2 < 3 < 5\) suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3.

Xét nhóm 2 là nhóm \(\left[ {19,8;22,8} \right)\) có \(s = 19,8,h = 3,{n_2} = 3\) và nhóm 1 là nhóm \(\left[ {16,8;19,8} \right)\) có \(c{f_1} = 2\). Ta có tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 19,8 + \left( {\frac{{3 - 2}}{3}} \right).3 = 20,8\).

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\) mà \(8 < 9 < 12\) suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 9.

Xét nhóm 5 là nhóm \(\left[ {28,8;31,8} \right)\) có \(t = 28,8,1 = 3,{n_5} = 4\) và nhóm 4 là nhóm \(\left[ {25,8;28,8} \right)\) có \(c{f_4} = 8\).

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 28,8 + \left( {\frac{{9 - 8}}{4}} \right).3 = 29,55\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 29,55 - 20,8 = 8,75\) .

b) Sai. Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline {{x_1}}  = \frac{{2.18,3 + 3.21,3 + 2.24,3 + 27,3 + 4.30,3}}{{12}} = 24,8\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\begin{array}{l}{s_1}^2 = \frac{1}{{12}}\left[ {2{{\left( {18,3 - 24,8} \right)}^2} + 3{{\left( {21,3 - 24,8} \right)}^2} + 2{{\left( {24,3 - 24,8} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {{\left( {27,3 - 24,8} \right)}^2} + 4{{\left( {30,3 - 24,8} \right)}^2}} \right] = 20,75.\end{array}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_1} = \sqrt {{s_1}^2}  = \sqrt {20,75}  \approx 4,56\).

c) Sai. Xét số liệu ở Huế:

Khoảng biến thiên: \(R = 31,8 - 16,8 = 15\).

Số phần tử của mẫu là \(n = 12\).

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là \(c{f_1} = 1,c{f_2} = 3,c{f_3} = 6,c{f_4} = 8,c{f_5} = 12\).

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3. Xét nhóm 2 là nhóm \([19,8;22,8)\) có \(s = 19,8,\;h = 3,{n_2} = 2\) và nhóm 1 là nhóm \([16,8;19,8)\) có \(c{f_1} = 1\)

Ta có tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 19,8 + \left( {\frac{{3 - 1}}{2}} \right).3 = 22,8\).

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\) mà \(8 < 9 < 12\) suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 9.

Xét nhóm 5 là nhóm \(\left[ {28,8;31,8} \right)\) có \(t = 28,8,l = 3,{n_5} = 4\) và nhóm 4 là nhóm \([25,8;28,8)\) có \(c{f_4} = 8\).

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 28,8 + \left( {\frac{{9 - 8}}{4}} \right).3 = 29,55\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 29,55 - 22,8 = 6,75\).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline {{x_2}}  = \frac{{18,3 + 2.21,3 + 3.24,3 + 2.27,3 + 4.30,3}}{{12}} = 25,8\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\begin{array}{l}s_2^2 = \frac{1}{{12}}\left[ {{{\left( {18,3 - 25,8} \right)}^2} + 3{{\left( {21,3 - 25,8} \right)}^2} + 3{{\left( {24,3 - 25,8} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2{{\left( {27,3 - 25,8} \right)}^2} + 4{{\left( {30,3 - 25,8} \right)}^2}} \right] = 15,75.\end{array}\]

d) Đúng. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_2} = \sqrt {s_2^2}  = \sqrt {15,75}  \approx 3,97\).

Huế có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

a) Cỡ mẫu là \(n = 3 + 12 + 15 + 8 = 38\). Gọi \({x_1}, \ldots ,{x_{38}}\) là thời gian chờ khám bệnh của 38 bệnh nhân này và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{10}}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \([5;10)\) và ta có:

\({Q_1} = 5 + \left[ {\frac{{\frac{{38}}{4} - 3}}{{12}}} \right].5 \approx 7,71.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{29}}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \([10;15)\) và ta có: \({Q_3} = 10 + \left[ {\frac{{\frac{{3 \cdot 38}}{4} - 15}}{{15}}} \right].5 = 14,5.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 14,5 - 7,71 = 6,79\).

b) Do \({\Delta _Q} = 6,79 < 9,23\) nên thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám \(Y\) phân tán hơn thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám \(X\).