Biểu đồ dưới đây thống kê thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày trong tháng 9/2022 của bác Bình và bác An.

(a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là \(25\) (phút).

(b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác An là: \({\Delta _Q} = 2\).

(c) Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng của bác Bình là: \({Q_3}^\prime = \frac{{455}}{{16}}\).

(d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An lớn hơn bác Bình.

Đáp án đúng: B

Bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện là:

Số trung bình: \(\bar x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}}{{20}} = 9,4\).

a) Đúng. Xét số liệu ở Hà Nội:

Khoảng biến thiên: \(R = 31,8 - 16,8 = 15\).

Số phần tử của mẫu là \(n = 12\).

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là \(c{f_1} = 2,c{f_2} = 5,c{f_3} = 7,c{f_4} = 8,c{f_5} = 12\).

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) mà \(2 < 3 < 5\) suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3.

Xét nhóm 2 là nhóm \(\left[ {19,8;22,8} \right)\) có \(s = 19,8,h = 3,{n_2} = 3\) và nhóm 1 là nhóm \(\left[ {16,8;19,8} \right)\) có \(c{f_1} = 2\). Ta có tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 19,8 + \left( {\frac{{3 - 2}}{3}} \right).3 = 20,8\).

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\) mà \(8 < 9 < 12\) suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 9.

Xét nhóm 5 là nhóm \(\left[ {28,8;31,8} \right)\) có \(t = 28,8,1 = 3,{n_5} = 4\) và nhóm 4 là nhóm \(\left[ {25,8;28,8} \right)\) có \(c{f_4} = 8\).

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 28,8 + \left( {\frac{{9 - 8}}{4}} \right).3 = 29,55\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 29,55 - 20,8 = 8,75\) .

b) Sai. Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline {{x_1}} = \frac{{2.18,3 + 3.21,3 + 2.24,3 + 27,3 + 4.30,3}}{{12}} = 24,8\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\begin{array}{l}{s_1}^2 = \frac{1}{{12}}\left[ {2{{\left( {18,3 - 24,8} \right)}^2} + 3{{\left( {21,3 - 24,8} \right)}^2} + 2{{\left( {24,3 - 24,8} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {{\left( {27,3 - 24,8} \right)}^2} + 4{{\left( {30,3 - 24,8} \right)}^2}} \right] = 20,75.\end{array}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_1} = \sqrt {{s_1}^2} = \sqrt {20,75} \approx 4,56\).

c) Sai. Xét số liệu ở Huế:

Khoảng biến thiên: \(R = 31,8 - 16,8 = 15\).

Số phần tử của mẫu là \(n = 12\).

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là \(c{f_1} = 1,c{f_2} = 3,c{f_3} = 6,c{f_4} = 8,c{f_5} = 12\).

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3. Xét nhóm 2 là nhóm \([19,8;22,8)\) có \(s = 19,8,\;h = 3,{n_2} = 2\) và nhóm 1 là nhóm \([16,8;19,8)\) có \(c{f_1} = 1\)

Ta có tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 19,8 + \left( {\frac{{3 - 1}}{2}} \right).3 = 22,8\).

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\) mà \(8 < 9 < 12\) suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 9.

Xét nhóm 5 là nhóm \(\left[ {28,8;31,8} \right)\) có \(t = 28,8,l = 3,{n_5} = 4\) và nhóm 4 là nhóm \([25,8;28,8)\) có \(c{f_4} = 8\).

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 28,8 + \left( {\frac{{9 - 8}}{4}} \right).3 = 29,55\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 29,55 - 22,8 = 6,75\).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline {{x_2}} = \frac{{18,3 + 2.21,3 + 3.24,3 + 2.27,3 + 4.30,3}}{{12}} = 25,8\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\begin{array}{l}s_2^2 = \frac{1}{{12}}\left[ {{{\left( {18,3 - 25,8} \right)}^2} + 3{{\left( {21,3 - 25,8} \right)}^2} + 3{{\left( {24,3 - 25,8} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2{{\left( {27,3 - 25,8} \right)}^2} + 4{{\left( {30,3 - 25,8} \right)}^2}} \right] = 15,75.\end{array}\]

d) Đúng. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_2} = \sqrt {s_2^2} = \sqrt {15,75} \approx 3,97\).

Huế có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn.