Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lạp xưởng,. Xí nghiệp đã nhập về \(600\;kg\) bột mì và \(240\;kg\) đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần \(120\;g\) bột mì, \(60\;g\) đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần \(160\;g\) bột mì và \(40\;g\) đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8000 đồng, mỗi chiếc bánh dẻo lãi 6000 đồng, Hãy lập kế hoạch sản xuất cho xí nghiệp để đáp ứng nhu cầu thị trường; đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng mà xí nghiệp đã chuẩn bị và vẫn thu được lợi nhuận cao nhất.

Gọi \(x,y\) lần lượt là số cốc đồ uống loại \(A\), loại \(B\) mà đội chơi cần pha chế với \(x \ge 0,y \ge 0\).

Số cốc nước cần dùng là: \(x + y\) (cốc).

Lượng đường cần dùng là: \(30x + 10y(\;g)\).

Lượng hương liệu cần dùng là: \(x + 4y(\;g)\).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\30x + 10y \le 210\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\3x + y \le 21\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array}} \right.} \right.\left( {III} \right)\)

Số điểm thường nhận được là: \(F = 6x + 8y\).

Ta tìm giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (III).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (III) là miền ngũ giác \(OABCD\) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {7;0} \right),\,B\left( {6;3} \right),\,C\left( {4;5} \right),\,D\left( {0;6} \right)\)(hình).

Tính giá trị của \(F = 6x + 8y\) tại các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của các đỉnh ngũ giác \(OABCD\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(64\) tại \(x = 4;y = 5\).

Vậy để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế 4 cốc đồ uống loại \(A\), 5 cốc đồ uống loại \(B\).

 a) Giả sử gia đình đó mua \(x(\;kg)\) thịt bò và \(y(\;kg)\) thịt lợn.

Điều kiện: \(0 \le x \le 1,6;0 \le y \le 1,1\).

Khi đó lượng protein có được là \(80\% x + 60\% y\) và lượng lipit có được là \(20\% x + 40\% y\).

Vì gia đình đó cần ít nhất \(0,9\;kg\) protein và \(0,4\;kg\) lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là: \(80\% x + 60\% y \ge 0,9{\rm{ ;}}\,\,20\% x + 40\% y \ge 0,4.{\rm{ }}\)

Ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0⩽x⩽1,6\\ 0⩽y⩽1,1\\ 4x+3y⩾4,5\\ x+2y⩾2\end{array}\right.$.

b) Miền nghiệm của hệ trên là miền của tứ giác lồi \(ABCD\) (kể cả biên) được mô tả ở hình bên.

c) Chi phí để mua \(x(\;kg)\) thịt bò và \(y(\;kg)\) thịt lợn là: \(T = 45x + 35y\) (nghìn đồng).

d) Ta đã biết \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh tứ giác \(ABCD\) trong đó \(A(0,3;1,1),B(1,6;1,1),C(1,6;0,2),D(0,6;0,7)\).

Xét \(A(0,3;1,1)\), ta có \(T = 45.0,3 + 35.1,1 = 52\); xét \(B(1,6;1,1)\), ta có \(T = 45.1,6 + 35.1,1 = 110,5\); xét \(C(1,6;0,2)\), ta có \(T = 45.1,6 + 35.0,2 = 79\); xét \(D(0,6;0,7)\), ta có \(T = 45.0,6 + 35.0,7 = 51,5\).

So sánh các giá trị trên, ta thấy được \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 51,5 (nghìn đồng), khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,6}\\{y = 0,7}\end{array}} \right.\) (tức là gia đình đó mua \(0,6\;kg\) thịt bò và \(0,7\;kg\) thịt lợn thì chi phí là ít nhất).