Câu hỏi:

09/10/2025 13

Biểu thức $L = y - x$, với $x$ và $y$ thõa mãn hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 \le 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\], đạt giá trị lớn nhất là $a$ và đạt giá trị nhỏ nhất là $b$. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. $a = \frac{{25}}{8}$và $b = - 2$.

B. $a = 2$và $b = - \frac{{11}}{{12}}$.

C. $a = 3$và $b = 0$.

D. $a = 3$ và $b = \frac{{ - 9}}{8}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

$Vậy ta có $a = 2 - 0 = 2,$$b = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}}.$ (ảnh 1)$

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

$\left( {{d_1}} \right):2x + 3y - 6 = 0$

$\left( {{d_2}} \right):x = 0$

$\left( {{d_3}} \right):2x - 3y - 1 = 0$

Ta thấy $\left( {0\,\,;\,\,0} \right)$ là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên).

Miền nghiệm là hình tam giác $ABC$ (kể cả biên), với $A\left( {0\,\,;\,\,2} \right),$$B\left( {\frac{7}{4}\,\,;\,\,\frac{5}{6}} \right),$$C\left( {0\,\,;\,\, - \frac{1}{3}} \right).$

Vậy ta có $a = 2 - 0 = 2,$$b = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}}.$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong mặt phẳng Oxy, cho tứ giác ABCD có $A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho điểm $M(m;m - 1)$ nằm trong hình tứ giác $ABCD$ kể cả 4 cạnh.

Xem đáp án

Lời giải

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tứ giác $ABCD$ có $A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho điểm $M(m;m - 1)$ nằm trong hình tứ giác $ABCD$ kể cả 4 cạnh.

$Trong mặt phẳng Oxy, cho tứ giác ABCD có $A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho điểm $M(m;m - 1)$ nằm trong hình tứ giác $ABCD$ kể cả 4 cạnh. (ảnh 1)$

Nhận thấy hình tứ giác $ABCD$ tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình gồm 4 bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm $O(0;0)$ và lần lượt có các bờ là các đường thẳng $AB,BC,CD$ và $DA$.

Phương trình đường thẳng $AB$:

$\frac{{x + 3}}{{0 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} \Leftrightarrow 2x - 3y + 6 = 0.{\rm{ }}$

Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $AB$ (tính cả bờ $AB$) và chứa điểm $O$ là $2x - 3y + 6 \ge 0$.

Phương trình đường thẳng $BC:\frac{{x - 0}}{{3 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0$. Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $BC$ (tính cả bờ $BC$) và chứa điểm $O$ là $x + 3y - 6 \le 0$.

Phương trình đường thẳng $CD:x - 3 = 0$. Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $CD$ (tính cả bờ $CD$) và chứa điểm $O$ là $x - 3 \le 0$.

Phương trình đường thẳng $DA:\frac{{x + 3}}{{3 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{ - 2 - 0}} \Leftrightarrow x + 3y + 3 = 0$. Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ $DA$ (tính cả bờ $DA$ ) và chứa điểm $O$ là $x + 3y + 3 \ge 0$.

Hình tứ giác $ABCD$ tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y + 6 \ge 0}\\{x + 3y - 6 \le 0}\\{x - 3 \le 0}\\{x + 3y + 3 \ge 0}\end{array}} \right.(1)$

Điểm $M(m;m - 1)$ nằm trong hình tứ giác $ABCD$ tính cả 4 cạnh của nó khi và chỉ khi $(m;m - 1)$ là một nghiệm của hệ $(1)$, tức là

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m - 3(m - 1) + 6 \ge 0}\\{m + 3(m - 1) - 6 \le 0}\\{m - 3 \le 0}\\{m + 3(m - 1) + 3 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 9}\\{m \le \frac{9}{4}}\\{m \le 3}\\{m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{9}{4}} \right.} \right.$

Vậy các giá trị của $m$ thỏa mãn là $0 \le m \le \frac{9}{4}$.

Câu 2

Một gia đình cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất $2,0\;kg$ thịt bò và $1,5\;kg$ thịt lợn. Giá tiền $1\;kg$ thịt bò là 200 nghìn đồng, $1\;kg$ thịt lợn là 100 nghìn đồng. Gọi $x,y$ lần lượt là số $kg$ thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính $4{x^2} + {y^2}$.

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện: $0 \le x \le 2;0 \le y \le 1,5$

Khi đó số protein có được là $800x + 600y$ và số lipit có được là $200x + 400y$

Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:

$800x + 600y \ge 1200 \Leftrightarrow 4x + 3y \ge 6{\rm{ v\`a }}200x + 400y \ge 800 \Leftrightarrow x + 2y \ge 4$

Ta có hệ bất phương trình sau:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1,5}\\{4x + 3y \ge 6}\\{x + 2y \ge 4}\end{array}} \right.$(*)

Một gia đình cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. (ảnh 1)

Miền nghiệm của hệ trên là miền ngũ giác $ABCDE$ kể cả các cạnh của ngũ giác.

Chi phí để mua $x\;kg$ thịt bò và $y\;kg$ thịt lợn là $T = 200x + 100y$ (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $T(x;y) = 200x + 100y$ trên miền nghiệm của hệ $(*)$.

Tìm tọa độ các điểm $A,B,C,D,E$.

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 5y - 6 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{3}{8}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)$.

Tọa độ điềm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.$. Vậy $C(2;0)$.

Tọa độ điểm $D$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + 2y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $D(2;1)$.

Tọa độ điểm $E$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.$. Vậy $E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)$.

Ta thấy $T(x;y) = 200x + 100y$ đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm $A,B,C,D,E$.

Tại $A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)$ thì $T = 200 \cdot \frac{3}{8} + 100 \cdot \frac{3}{2} = 225$ (nghìn đồng).

Tại $B\left( {\frac{3}{2};0} \right)$ thì $T = 200 \cdot \frac{3}{2} + 100 \cdot 0 = 300$ (nghìn đồng).

Tại $C(2;0)$ thì $T = 200.2 + 100.0 = 400$ (nghìn đồng).

Tại $D(2;1)$ thì $T = 200.2 + 100.1 = 500$ (nghìn đồng).

Tại $E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)$ thì $T = 200.1 + 100 \cdot \frac{3}{2} = 350$ (nghìn đồng).

Như vậy để chi phí bỏ ra thấp nhất mà vẫn đảm bảo nhu cầu dinh dưỡng khi $x = \frac{3}{8}$ và $y = \frac{3}{2} \Rightarrow 4{x^2} + {y^2} = 4 \cdot {\left( {\frac{3}{8}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{45}}{{16}}$.

Câu 3