Biểu thức \(L = y - x\), với \(x\) và \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 \le 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\], đạt giá trị lớn nhất là \(a\) và đạt giá trị nhỏ nhất là \(b\).

Do \(x > 0,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) nên ta có \(\frac{y}{3} < 1 \Leftrightarrow y < 3\)

Do \(y\) nguyên dương nên \(y \in \{ 1;2\} \).

Với \(y = 1\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{2} + \frac{1}{3} - 1 \le 0}\\{x > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = 1} \right.\).

Với \(y = 2\), ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{2} + \frac{2}{3} - 1 \le 0}\\{x > 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow x \in \emptyset } \right.\).

Vậy bất phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) có nghiệm nguyên dương là \((1;1)\).

Đường thẳng \(AB:\frac{{x - 0}}{{ - 1 - 0}} = \frac{{y - 3}}{{2 - 3}} \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\).

Đường thẳng \(AC:\frac{{x - 0}}{{2 - 0}} = \frac{{y - 3}}{{1 - 3}} \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\).

Đường thẳng \(BC:\frac{{x - 2}}{{2 - ( - 1)}} = \frac{{y - 1}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow x + 3y - 5 = 0\).

Điều kiện cần và đủ để điểm \(M\) nằm bên trong tam giác \(ABC\) là điểm \(M\) cùng với mỗi đỉnh \(A,B,C\) lần lượt cùng phía với nhau đối với cạnh \(AB,AC,BC\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}(1 \cdot 0 + 3 \cdot 3 - 5) \cdot (1 \cdot m + 3 \cdot \frac{{2m - 1}}{2} - 5) > 0\\(1 \cdot ( - 1) + 1 \cdot 2 - 3) \cdot (1 \cdot m + 1 \cdot \frac{{2m - 1}}{2} - 3) > 0\\(1.2 - 1.1 + 3) \cdot (1 \cdot m - 1 \cdot \frac{{2m - 1}}{2} + 3) > 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m > \frac{{13}}{8}\\m < \frac{7}{4}\\14 > 0(tm)\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \frac{{13}}{8} < m < \frac{7}{4}} \right.} \right.\)