Để đo khoảng cách từ vị trí \(A\) trên bờ sông đến vị trí \(B\) của con tàu bị mắc cạn gần một cù lao giữa sông, bạn Minh đi dọc bờ sông từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) cách \(A\) một khoảng bằng \(50\;m\) và đo các góc $\widehat{BAC}={70}^{°},\widehat{BCA}={50}^{°}$. (Hình). Tính khoảng cách \(AB\) theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Theo định lí cosin, ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\)

\( = {(49,4)^2} + {(26,4)^2} - 2.49,4.26,4 \cdot \cos \left( {{{47}^0}{{20}^\prime }} \right) \approx 1369,66.{\rm{ }}\)

Suy ra: \(c \approx 37\;cm\).

Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \approx \frac{{{{\left( {26,4} \right)}^2} + 1369,66 - {{\left( {49,4} \right)}^2}}}{{2.26,4.37}} \approx  - 0,191 \Rightarrow \widehat A \approx 101^\circ \)

Ta có: \(\widehat B = 180^\circ  - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) \approx 31^\circ 40'\)

Kẻ \(AK \bot BN;{A^\prime }H \bot BN\).

Gọi \({A^\prime }\) đối xứng với \(A\) qua \(MN,D\) là trung của \(NB\).

\(T = CA + CB = C{A^\prime } + CB \ge {A^\prime }B\) (không đổi). Đẳng thức xảy ra khi \(\{ C\}  = MN \cap {A^\prime }B\).

\(MN = AK = {A^\prime }H = \sqrt {A{B^2} - K{B^2}}  = \sqrt {{{(3\sqrt {37} )}^2} - {3^2}}  = 18\;km.\)

Vậy \({A^\prime }B = \sqrt {{A^\prime }{H^2} + H{B^2}}  = \sqrt {{{18}^2} + {9^2}}  = 9\sqrt 5  \simeq 20,12\;km\).