Trên ngọn đồi có một cái tháp cao \(100\;m\) (hình vẽ). Đỉnh tháp \(B\) và chân tháp \(C\) lần lượt nhìn điểm \(A\) ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng ${30}^{°}$ và ${60}^{°}$ so với phương thẳng đứng. Tính chiều cao \(AH\) của ngọn đồi.

Vì \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{3}\) nên \(\cos \alpha  \ne 0\).

Chia cả tử và mẫu của \(P\) cho \(\cos \alpha \), ta được: \(A = \frac{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 4}}{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 5}} = \frac{{3\tan \alpha  + 4}}{{2\tan \alpha  - 5}} = \frac{{3 \cdot \frac{1}{3} + 4}}{{2 \cdot \frac{1}{3} - 5}} =  - \frac{{15}}{{13}}{\rm{. }}\)

a) \(D = a.1 + b.0 + c.0 = a\).

b) \(E = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + 2 \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - 5.1 =  - \frac{{11}}{4}\).

c) \(F = {\cos ^2}{24^0} + {\sin ^2}{24^0} + {\cos ^2}{1^0} + {\sin ^2}{1^0} = 1 + 1 = 2\).

d) $G={\cos }^2{45}^{°}+{\sin }^2{45}^{°}+{\sin }^2{45}^{°}-2\left({\cos }^2{50}^{°}+{\cos }^2{40}^{°}\right)-5\tan {55}^{°}\cot {55}^{°}$

$={\cos }^2{45}^{°}+{\sin }^2{45}^{°}+{\sin }^2{45}^{°}-2\left({\cos }^2{50}^{°}+{\sin }^2{50}^{°}\right)-5\tan {55}^{°}\cot {55}^{°}=\frac{-11}{2}$