Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right): - x + 2y + z - 3 = 0\).
a) Điểm \(A\left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)\) nằm trên đường thẳng \(d\).
b) Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với đường thẳng \(d\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;\,1;\, - 1} \right)\).
c) Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(30^\circ \).
d) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 3;\,1;\,2} \right)\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(N\left( {a;\,b;\,c} \right)\). Giá trị \(a + b + c\) bằng 3.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Sai. Điểm \(A\left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)\) không nằm đường thẳng \(d\) vì \(\frac{{1 - 1}}{2} = \frac{{ - 1 + 1}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 2 - 2}}{1}\).
b) Đúng. Đường thẳng \(d\) có 1 vectơ chỉ phương là \({\overrightarrow u _d} = \left( {2;\, - 1;\,1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( { - 1;\,2;\,1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có 1 vectơ pháp tuyến là \({\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},\,{{\overrightarrow u }_d}} \right] = \left( {1;\,1;\, - 1} \right)\).
c) Đúng. Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow u }_d} \cdot {{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_d}} \right| \cdot \left| {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}}} \right|}} = \frac{3}{{\sqrt 6 \cdot \sqrt 6 }} = \frac{1}{2}\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = 30^\circ \).
d) Sai. \(N = \Delta \cap d\).
\(N \in d \Rightarrow N\left( {1 + 2t;\, - 1 - t;\,2 + t} \right)\).
\(\Delta \) có 1 vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {MN} = \left( {2t + 4;\, - t - 2;\,t} \right)\).
Ta có \(\Delta \) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Suy ra \(\overrightarrow {MN} \bot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} \cdot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = 0\)\( \Rightarrow \left( {2t + 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - t - 2} \right) \cdot 2 + t \cdot 1 = 0\)
Suy ra \(t = - \frac{8}{3}\).
Vậy \(N\left( { - \frac{{13}}{3};\frac{5}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\).
Suy ra \(a + b + c = - \frac{{13}}{3} + \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{{10}}{3}\).
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\). Khi đó ta có:
\({\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a - 12b - 6c + 10 = 0\) \(\left( 1 \right)\)
\({\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 8} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = 49 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 8a - 16b - 2c + 32 = 0\) \(\left( 2 \right)\)
\({\left( {a - 9} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 144 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 18a - 12b - 14c + 22 = 0\) \(\left( 3 \right)\)
\({\left( {a + 15} \right)^2} + {\left( {b - 18} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2} = 576 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 30a - 36b - 14c + 22 = 0\) \(\left( 4 \right)\)
Giải hệ gồm 4 phương trình trên ta được \(a = 1;b = 2;c = - 1\) nên \(M\left( {1;2; - 1} \right)\).
Vậy \(T = 1 + 2 + \left( { - 1} \right) = 2\).
Đáp án: 2.
Lời giải
Phương trình tham số của đường cáp là: \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1 - 2k\\z = 5 + 6k\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {k \in \mathbb{R}} \right)}\end{array}\]
Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4\,{\rm{m/s}}\) nên độ dài \(AM = 4t\) \(\left( m \right)\).
Vì vậy sau \[5\] (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm \[M\] thì \(AM = 4.5 = 20\) \(\left( m \right)\).
Vì \[M \in d \Rightarrow M\left( { - 2;1 - 2k;5 + 6k} \right)\].
\[\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2k;6k} \right)\]. Do 2 vec tơ \[\overrightarrow {AM} ;\vec u\] cùng hướng \(k > 0\).
\(AM = 20 \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + 4{k^2} + 36{k^2}} = 20 \Leftrightarrow 40{k^2} = 400 \Leftrightarrow k = \pm \sqrt {10} \).
Vì \(k > 0 \Rightarrow k = \sqrt {10} \).
Vậy tọa độ \[M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)\]. Khi đó \[a + 3b + c = - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + 5 + 6\sqrt {10} = 6\].
Đáp án: 6.
Câu 3
A.
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 8\).
B.
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\).
C.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 8\).
D.
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 2\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\).
B.
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 3\).
C.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\).
D.
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo