Một chiếc tàu đi xuôi dòng từ bến \(A\) đến bến \(B\) rồi sau đó ngược dòng trở lại về \(A.\) Biết tốc độ của dòng nước là \(2\,\;{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}\) và khoảng cách từ bến \(A\) đến bến \(B\) dài \(80\;\,{\rm{km}}{\rm{.}}\)

Gọi \(x\,\;\left( {{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}} \right)\,\,\left( {x > 2} \right)\) là tốc độ của chiếc tàu đó. Khi đó:

          a) Phân thức biểu thị thời gian tàu đi ngược dòng là \(\frac{{80}}{{x - 2}}\) (giờ).

          b) Phân thức biểu thị thời gian tàu đi xuôi dòng là \(\frac{{80}}{x}\) (giờ).

c) Hiệu giữa thời gian tàu đi ngược dòng và thời gian tàu đi xuôi dòng là \(\frac{{320}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) (giờ).

d) Khi tàu đi với tốc độ \(22\,\;{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}\) thì hiệu giữa thời gian tàu đi ngược dòng và thời gian tàu đi xuôi dòng là 1 giờ.

a) Đúng.

Phân thức biểu thị thời gian tàu chạy qua vùng rừng núi là \(\frac{{50}}{x}\) (giờ).

b) Đúng.

Tốc độ tàu chạy qua thành phố là \(x - 20\,\;\left( {{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}} \right).\)

Phân thức biểu thị thời gian tàu chạy qua thành phố là: \(\frac{{350}}{{x - 20}}\) (giờ).

c) Sai.

Ta có: \(\frac{{50}}{x} + \frac{{350}}{{x - 20}} = \frac{{50\left( {x - 20} \right) + 350x}}{{x\left( {x - 20} \right)}} = \frac{{400x - 1\;\,000}}{{x\left( {x - 20} \right)}}.\)

Vậy phân thức biểu thị tổng thời gian tàu chạy trên đoạn đường \(400\;\,{\rm{km}}\) là \(\frac{{400x - 1\;\,000}}{{x\left( {x - 20} \right)}}\) (giờ).

d) Sai.

Với \(x = 40\,\;\left( {{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}} \right)\) ta có: \(\frac{{400x - 1\;\,000}}{{x\left( {x - 20} \right)}} = \frac{{400 \cdot 40 - 1\;000}}{{40\left( {40 - 20} \right)}} = 18,75\) (giờ).

Vậy khi tốc độ tàu chạy qua vùng rừng núi là \(40\,\;{\rm{km}}\,{\rm{/}}\,{\rm{h}}\) thì tổng thời gian tàu chạy cả quãng đường là \(18,75\) giờ.

Đáp án: \(5\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 0\) và \(x \ne 1.\)

Ta có: \(E = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{5x - 4}}{{{x^2} - x}} = \frac{x}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{5x - 4}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x - 5x + 4}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{ - 4x + 4}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{ - 4\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{ - 4}}{x}.\)

Để phân thức \(\frac{{ - 4}}{x}\) có giá trị là số nguyên thì \(x \in \)Ư\(\left( 4 \right) = \left\{ {1;\;\, - 1;\;\,2;\;\, - 2;\;\,4;\;\, - 4} \right\}.\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne 1\) ta có: \(x \in \left\{ { - 1;\;\,2;\;\, - 2;\;\,4;\;\, - 4} \right\}.\)

Vậy có 5 giá trị nguyên của \(x\) để \(E\) có giá trị nguyên.