Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng (phần gạch sọc của hình vẽ) xung quanh trục Ox (làm tròn đến hàng phần trăm).

a) Hình phẳng có diện tích S3 khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là \(V = \pi \int\limits_c^d {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).

b) Hình phẳng (H) khi quay quanh trục hoành tạo ra vật thể tròn xoay có thể tích là \(V = \pi \int\limits_a^d {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}dx} \).

c) \({S_1} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

d) \({S_2} = \int\limits_b^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  =  - \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} \).

Đáp án: a) Sai;   b) Đúng;   c) Đúng;   d) Đúng.

a) Đường thẳng d đi qua điểm O(0; 0) và (3; 3) nên đường thẳng d có phương trình là \(y = x\).

b) Parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua (0; 0), (3; 3), (4; 0) nên (P): \(y =  - {x^2} + 4x\).

c) \({S_1} = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|dx}  = \int\limits_0^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 = \frac{9}{2}\).

d) \({S_2} = \int\limits_0^4 {\left| {x - \left( { - {x^2} + 4x} \right)} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^4 {\left| { - 3x + {x^2}} \right|dx} \)\( =  - \int\limits_0^3 {\left( { - 3x + {x^2}} \right)dx}  + \int\limits_3^4 {\left( { - 3x + {x^2}} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_3^4 = \frac{9}{2} + \frac{{11}}{6} = \frac{{19}}{3}\).

Suy ra \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{2}:\frac{{19}}{3} = \frac{{27}}{{38}}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Đúng.