10 bài tập Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có lời giải

Đáp án đúng là: A

\(I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 1\).

Đáp án đúng là: D

\(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx} \)\( = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{6} - \left( { - \frac{1}{6}} \right) = 1\).

Đáp án đúng là: D

+) \(\frac{\pi }{4} \le x \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} \le 2x \le \pi \Rightarrow \sin 2x \ge 0\).

+) \(\frac{\pi }{2} \le x \le \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \pi \le 2x \le \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin 2x \le 0\).

Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left| {\sin 2x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sin 2xdx} \)\( = \left. { - \frac{1}{2}\cos 2x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{2}\cos 2x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = 1\).

Đáp án đúng là: B

Từ đáp án ta thấy a ≥ 1.

\(I = \int\limits_{ - 1}^a {\left| {{x^2} - x} \right|dx} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_1^a {\left( {{x^2} - x} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^a\)\( = \frac{7}{6} + \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{2}\).

Theo đề có \(\frac{7}{6} + \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{11}}{6}\) 2a³ – 3a² – 4 = 0 (a − 2)(2a² + a + 2) = 0 a = 2.

Đáp án đúng là: A

Do x³ + x² – x – 1 = (x – 1)(x + 1)² ≤ 0, ∀x [−1; 1].

Khi đó \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right|dx} \)\( = - \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right)dx} = - \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{4}{3}\).

Suy ra a = 4; b = 3. Do đó a + b = 7.

Đáp án đúng là: D

Vì x⁴ + x² + 1 ≥ 0, ∀x [−1; 2018] \( \Rightarrow \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left| {{x^4} + {x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)dx} \).