20 câu trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều Bài 1. Nguyên hàm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng?

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\) và \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \).

a) \(F'\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 1\).

b) Hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

c) \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} - {x^3} + {x^2} - x\).

d) Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 1\). Khi đó \(F\left( 1 \right) = \frac{5}{4}\).

Một ô tô đang chạy với tốc độ 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường. Người lái xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ \(v\left( t \right) = - 10t + 30\) (m/s), trong đó \[t\] là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi \(s\left( t \right)\) là quãng đường xe ô tô đi được trong \(t\) giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Công thức biểu diễn hàm số \(s\left( t \right) = - 5{t^2} + 30t + 72\) (m).

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là 3 giây.

c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là 45 m.

d) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi ô tô dừng hẳn là 120 m.

Cho \(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 4\).

a) Nếu \(F\left( 1 \right) = 0\) thì \(F\left( 2 \right) = 6\).

b) Nếu \(F\left( 0 \right) = 0\)thì \(F\left( { - 1} \right) = - 4\).

c) \(F\left( 1 \right) - F\left( { - 1} \right) = - 6\).

d) \(F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) - 2F\left( 0 \right) = 2\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2{x^2} - x - 3,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(F\left( x \right)\)là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và tiếp tuyến của \(F\left( x \right)\) tại \(M\left( {0;2} \right)\) có hệ số góc bằng 0.

a) \(f'\left( { - 1} \right) = 0\).

b) \(f\left( x \right) = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - 3x\).

c) \(f\left( 2 \right) = - \frac{7}{3}\).

d) \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 1\).

a) \(\int {f\left( x \right)dx} = {x^2} + x + C\).

b) \(\int {\left( {x - 1} \right)f\left( x \right)dx} \)\( = \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} - x + C\).

c) Nếu \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) với \(G\left( 2 \right) = 5\) thì \(G\left( x \right) = {x^2} + x - 1\).

d) Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), biết \(F\left( 1 \right) = 2\) và \(\frac{1}{{F\left( 1 \right)}} + \frac{1}{{F\left( 2 \right)}} + ... + \frac{1}{{F\left( {99} \right)}} + \frac{1}{{F\left( {100} \right)}} = \frac{a}{b}\) (\(a,b \in \mathbb{N},\frac{a}{b}\) tối giản) thì \(a + b = 201\).

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

\(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\). Tính \(F'\left( {25} \right)\).

Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là \(s\left( t \right) = - \frac{{{t^2}}}{{10}} + 4t\), với t (giờ) là khoảng thời gian từ lúc con cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con cá hồi vào dòng nước có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách (km) xa mà con cá hồi có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.

Trong thí nghiệm nuôi cấy một loại vi sinh vật, giả sử \(f\left( x \right)\) là tổng số lượng vi sinh vật sau x giờ làm thí nghiệm. Biết rằng sau 3 giờ đầu tiên thì tổng số lượng vi sinh vật là 50 con. Trong 7 giờ tiếp theo, số lượng vi sinh vật thay đổi với tốc độ tăng trưởng là \(f'\left( x \right) = {x^2} + 8x\) (con/giờ). Tính số lượng vi khuẩn sau 6 giờ tính từ lúc bắt đầu làm thí nghiệm.

Biết rằng hàm số \(F\left( x \right) = x + 2024\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\); hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4} + 2025\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\). Gọi \(H\left( x \right) = \int {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} \), biết \(H\left( 4 \right) = 4\). Tính \(H\left( 1 \right)\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = 12{x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 3\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Tính \(F\left( 1 \right)\).