(Trả lời ngắn) 22 bài tập Ứng dụng hình học của tích phân (có lời giải)

33 người thi tuần này 4.6 246 lượt thi 22 câu hỏi 45 phút

Câu 1/22

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} + x - 1$, $y = {x^4} + x - 1$, $x = - 1,x = 1$.

Trả lời: ………………..

Lời giải

$\frac{4}{{15}}$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2} + x - 1$, $y = {x^4} + x - 1$, $x = - 1,x = 1$ là

$S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^2} - {x^4}} \right|{\rm{d}}} x = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} - {x^4}} \right|{\rm{d}}} x + \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - {x^4}} \right|{\rm{d}}} x$

$ = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - {x^4}} \right){\rm{d}}} x} \right| + \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - {x^4}} \right){\rm{d}}} x} \right| = \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| \begin{array}{l}0\\ - 1\end{array} \right.} \right| + \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right.} \right| = \frac{2}{{15}} + \frac{2}{{15}} = \frac{4}{{15}}$.

Câu 2/22

Kí hiệu \[S\left( t \right)\] là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 2x + 1\], \[y = 0\], \[x = 1\], \[x = t\]\[\left( {t > 1} \right)\]. Tìm \[t\] để \[S\left( t \right) = 10\].

Trả lời: ………………..

Lời giải

\[t = 3\]

Ta có: \[S\left( t \right) = \int\limits_1^t {\left| {2x + 1} \right|} {\rm{ d}}x = \int\limits_1^t {\left( {2x + 1} \right)} {\rm{ d}}x\].

Suy ra \[S\left( t \right) = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_1^t = {t^2} + t - 2\].

Do đó \[S\left( t \right) = 10 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 10 \Leftrightarrow {t^2} + t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 4{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.\].

Vậy \[t = 3\].

Câu 3/22

Giá trị dương của tham số $m$ sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = 2x + 3$ và các đường thẳng $y = 0,\,x = 0\,,\,x = m$ bằng $10$ là bao nhiêu?

Trả lời: ………………..

Lời giải

$m = 2$

Vì $m > 0$ nên $2x + 3 > 0,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,m} \right]$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x + 3$ và các đường thẳng $y = 0,\,x = 0\,,\,x = m$ là:

$S = \int\limits_0^m {\left( {2x + 3} \right).{\rm{d}}x} = \left. {\left( {{x^2} + 3x} \right)} \right|_0^m = {m^2} + 3m$.

Theo giả thiết ta có:

$S = 10 \Leftrightarrow {m^2} + 3m = 10 \Leftrightarrow {m^2} + 3m - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 5\,\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,\,m > 0} \right)$.

Câu 4/22

Hình vuông $OABC$ có cạnh bằng $4$ được chia thành hai phần bởi đường cong $\left( C \right)$ có phương trình $y = \frac{1}{4}\,{x^2}$. Gọi ${S_1}\,,\,\,{S_2}$ lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số $\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..

Lời giải

$\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2$

Ta có diện tích hình vuông $OABC$ là $16$ và bằng ${S_1}\, + \,{S_2}$.

${S_2} = \,\,\int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}{\rm{d}}x} \,\, = \,\left. {\,\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^4\, = \,\,\frac{{16}}{3}$\[\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\,\,\, = \,\,\,\frac{{16 - {S_2}}}{{{S_2}}}\,\,\, = \,\,\,\frac{{16 - \frac{{16}}{3}}}{{\frac{{16}}{3}}}\,\,\, = \,\,\,2\]

Câu 5/22

Cho hình thang cong \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = 0\], \[x = 0\], \[x = \ln 4\]. Đường thẳng \[x = k\] \[\left( {0 < k < \ln 4} \right)\] chia \[\left( H \right)\] thành hai phần có diện tích là \[{S_1}\] và \[{S_2}\] như hình vẽ bên. Tìm \[k\] để \[{S_1} = 2{S_2}\].

Trả lời: ………………..

Lời giải

\[k = \ln 3\]

Diện tích hình thang cong \[\left( H \right)\] giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = 0\], \[x = 0\], \[x = \ln 4\] là

\[S = \int\limits_0^{\ln 4} {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^{\ln 4} = \]\[{{\rm{e}}^{\ln 4}} - {{\rm{e}}^0} = 4 - 1 = 3\](đvdt).

Ta có \[S = {S_1} + {S_2} = {S_1} + \frac{1}{2}{S_1} = \frac{3}{2}{S_1}\]. Suy ra \[{S_1} = \frac{{2S}}{3} = \frac{{2.3}}{3} = 2\] (đvdt).

Vì \[{S_1}\] là phần diện tích được giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = 0\], \[x = 0\], \[x = k\] nên

\[2 = {S_1} = \int\limits_0^k {{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_0^k = \]\[{{\rm{e}}^k} - {{\rm{e}}^0} = {{\rm{e}}^k} - 1\].

Do đó \[{{\rm{e}}^k} = 3 \Leftrightarrow k = \ln 3\].

Câu 6/22

Cắt một vật thể $\left( T \right)$ bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại $x = 0$ và $x = 2$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ $x\left( {0 \le x \le 2} \right)$ cắt vật thể đó có diện tích diện là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt {{x^3}} $. Tính thể tích vật thể $\left( T \right)$.

Trả lời: ………………..

Lời giải

$\frac{{128}}{7}$

Diện tích thiết diện là $S\left( x \right) = \sqrt {{x^3}} .\sqrt {{x^3}} = {x^6}$.

Thể tích của vật thể $\left( T \right)$ là $V = \int\limits_0^2 {S\left( x \right)} dx = \int\limits_0^2 {{x^6}} dx = \frac{{128}}{7}$.

Câu 7/22

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại $x = 1\,;\,x = 3$. Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ $x$ ($1 \le x \le 3$), mặt cắt là tam giác vuông có một góc ${45^0}$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt {4 - \frac{1}{2}{x^2}} $. Tính thể tích vật thể trên.

Trả lời: ………………..

Lời giải

$\frac{{11}}{6}$

Diện tích tam giác vuông cân là: $S(x) = \frac{1}{2}\sqrt {4 - \frac{1}{2}{x^2}} .\sqrt {4 - \frac{1}{2}{x^2}} = \frac{1}{2}\left( {4 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)$

$ \Rightarrow $ Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_1^3 {\frac{1}{2}\left( {4 - \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx = \frac{{11}}{6}} $

Câu 8/22

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ xác định bởi các đường $y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}$, $y = 0$, $x = 0$ và $x = 3$ quanh trục \[Ox\].

Trả lời: ………………..

Lời giải

$V = \frac{{81\pi }}{{35}}$

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục \[Ox\] là :

$V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^3 {\left( {\frac{1}{9}{x^6} - \frac{2}{3}{x^5} + {x^4}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{81\pi }}{{35}}$.

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là : $V = \frac{{81\pi }}{{35}}$.

Câu 9/22